Logarithme décimal

[thojo]

Bonjour, j’ai bien compris la fonction logarithme népérien, mais j’aurais besoin de votre aide pour comprendre la fonction logarithme décimale.. D’une part je ne comprends absolument pas cette démonstration de cette propriété là :
Si x = p*10^n (écriture scientifique) alors : n = E(log x)
(ex : E(log(345665))=5)
Demo : on a 10^n < x=p*10^n < 10^(n+1). La fonction log est strictement croissante sur R+étoile donc : n
D’autre part je ne comprends pas à quoi correspond cette fonction (j’ai compris juste qu’elle servait dans d’autres domaines que les maths) pour les math elles-mêmes, et à quoi cette propriété sert.. ni comment l’appliquer..
Pouvez-vous m’aider ?

[Dlzlogic]

Bonjour, j’ai bien compris la fonction logarithme népérien, mais j’aurais besoin de votre aide pour comprendre la fonction logarithme décimale.. D’une part je ne comprends absolument pas cette démonstration de cette propriété là :
Si x = p*10^n (écriture scientifique) alors : n = E(log x)
(ex : E(log(345665))=5)
Demo : on a 10^n < x=p*10^n < 10^(n+1). La fonction log est strictement croissante sur R+étoile donc : n<logx<n+1 c’est-à-dire : n = E(logx) (l'expression "E(..) veut bien dire "partie entière"?)

D’autre part je ne comprends pas à quoi correspond cette fonction (j’ai compris juste qu’elle servait dans d’autres domaines que les maths) pour les math elles-mêmes, et à quoi cette propriété sert.. ni comment l’appliquer..
Pouvez-vous m’aider ?

Bonjour,
La fonction logarithme a été inventée pour trouver une primitive à la fonction y=1/x.
En math on utilise habituellement le logarithme népérien tel que ln(e) = 1. (pm e ~ 2.71828), dans toutes les branches (ou presque) de la physique, on utilise le logarithme décimal tel que log(10) = 1.
Les logarithmes ont été mis table et ont été utilisés pour tous les calculs jusqu'à l'apparition des calculettes informatiques vers les années 1975.
On m'a dit aussi qu'on utilisait un logarithme binaire en informatique.
Pour expliquer à quoi sont utilisés les logarithmes décimaux, c'est un peu comme pour les angles, en mathématique on utilise les radians, partout ailleurs (ou presque) on utilise les degrés ou les grades.
A titre d'exemple, je connais par cœur log(2)=0.30103, je crois que personne ne connait par cœur ln(2).

Pour votre démonstration, des membres compétents vous expliqueront.

[thojo]

Donc en gros (par rapport à votre dernier point) les logarithmes décimaux sont aux logarithmes népériens ce que les degrés sont aux radians..? je crois que j'ai compris la démo :

10^n < x=p*10^n < 10^(n+1). La fonction log est strictement croissante sur R+étoile donc :
log (10^n) < x < log 10^(n+1) et comme log (10^n) = n, on a n< (inf ou égal) logx< (strictement inf)n+1 donc n est la partie entière de x. Je ne vois pas trop encore l'intérêt de séparer la partie entière et la partie décimale d'un nombre comme nous le permet la formule : log(x) = log(a*10^n) = n + log a (n = partie entière de x et log(a) sa partie décimale), mais au moins j'ai enfin compris comment on arrive à cette formule. et je vois un peu plus ce qu'est cette fonction par rapport à la fonction ln. (fonction log de base e)

[Dlzlogic]

Donc en gros (par rapport à votre dernier point) les logarithmes décimaux sont aux logarithmes népériens ce que les degrés sont aux radians..? je crois que j'ai compris la démo :

10^n < x=p*10^n < 10^(n+1). La fonction log est strictement croissante sur R+étoile donc :
log (10^n) < x < log 10^(n+1) et comme log (10^n) = n, on a n< (inf ou égal) logx< (strictement inf)n+1 donc n est la partie entière de x. Je ne vois pas trop encore l'intérêt de séparer la partie entière et la partie décimale d'un nombre comme nous le permet la formule : log(x) = log(a*10^n) = n + log a (n = partie entière de x et log(a) sa partie décimale), mais au moins j'ai enfin compris comment on arrive à cette formule. et je vois un peu plus ce qu'est cette fonction par rapport à la fonction ln. (fonction log de base e)

Le log est caonqtitué d'une caractéristique et d'une mantisse.
La caractéristique est le nombre situé avant la virgule et la mantisse, après la virgule. (il s'agit bien d'une virgule et non un point décimal).
log(2) = 0,30103
log(20) = 1,30103
log(20000) =4,30103
lorsque les nombres dont on prend le logarithme sont inférieurs à 1, la caractéristique est négative et pour éviter la confusion, on note "2 barre" pour un nombre inférieur à 0.01.
Par exemple log(cos(0.00001)) = 1barre,999999 cad juste inférieur à 1.
Donc, si on lit -1,30103, ça veut dire "divisé par 20".

Il n'existe pas à ma connaissance de tables de logarithme népériens, appelés aussi logarithmes naturels, par contre il existe des tables de log à 5 décimales, très répandue, des tables à 9 décimales (de mémoire).
Il y a une constante multiplicative entre log et ln : log(e) = 0.43429

[thojo]

merci pour ces précisions, et bonne soirée!