Limites d'une fonction Sinus

[ze zoune]

Bonjour à tous,

Je bloque sur un exercice dans lequel je dois déterminer des limites de fonctions sinus:





J'ai essayé les formules de duplication, d'addition, etc... pour tomber à chaque fois sur des formes indéterminées. Je me sui sdonc décidé à venir demander de l'aide !

D'avance merci !

[oscar]

Bonjour
1) soit f = ( 3+1/x²) sin x
lim ( 3+ 1/x²) sin x si x-->0
= lim( 3x²+2)/x * lim sin x/ x en divisant les deux facteurs par x
= lim sinx/x =1 si x--> 0

Donc lim f = ..

[ze zoune]

Je ne vois pas très bien comment on peut arriver à ton résultat en divisant le tout par x :/

[oscar]

Je reprends

lim (3+ 1/x²) * sinx( si x->0)
= lim ( 3x²+1!)/x²* sin x= lim ( 3x² +1) /x * 1/x sinx
=> lim ( 3x² +1)/x * lim sinx /x
lLa limite d' un produit de limites= produit des limites des facteurs
lim (3x²+1)/x si x-> 0 vaut 0/0
On appllique l' Hospital ( lim f/g = lim f/'limg')
Donc lim (3x² +1/x = lim 6x/1 = 0 (si x--> 0)

la lim de sinx /x = 1 si x--> 0
donc la lim du produit = 0*1 =0

[oscar]

Pour le 2

lim x sinx (1/x) ( x-> +oo)= on a +oo*0
= lim sin (1/x) / (1/x)

Règle de l' Hospital
= lim [ sin(1/x) ] ' / ( 1/x) '' = lim [cos 1/x * ( -1/x²)] (-1/x²)=
lim cos (1/x) = cos 0 = 1

[L.A.]

Bonjour.

autre pour le 2:

posons h =1/x, qui tend vers 0

sin(h)/h = (sin(h) - sin(0))/(h-0) qui est un taux d'accroissement
sa limite est le nombre dérivé de sin en 0.

[ze zoune]

Merci à vous deux ! :we:

Juste une dernière vérification en ce qui concerne le résultat d'Oscar:
Est ce que cela revient à faire la démonstration suivante:

lim x sin(1/x) = lim cos (1/x) (règle de l'hospital)

Or, lim 1/x = 0 pour x -> infini , donc lim cos(1/x)= 1

?

[Black Jack]

1)

(3 + 2/x²).sin(x) = 3.sin(x) + 2.(sin(x)/x)/x

lim(x-> 0) (3 + 2/x²).sin(x) = 3.lim(x-> 0) sin(x) + 2.lim(x-> 0) (sin(x)/x)/x

et tu as appris que lim(x-> 0) (sin(x)/x) = 1

On a a donc :

lim(x-> 0) (3 + 2/x²).sin(x) = 2.lim(x-> 0) [1/x]

Il faut diviser en 2 cas distincts, soit:
limite pour x -> 0+ et lim pour x -> 0-

Continue ...
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2)

lim(x-> +oo) x.sin(1/x) = lim(x-> +oo) sin(1/x) / (1/x)
Poser 1/x = t

lim(x-> +oo) x.sin(1/x) = lim(t -> 0+) sin(t)/t = ...
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:zen: