1èreS : limites et fonctions sinus cosinus

[Magister]

Bonjour à tous !

J'ai un DM de maths à rendre pour bientôt et je bloque sur 2 exos... Si vous pouviez m'aider, ce serait sympa, merci ! :happy2:

Alors voilà :

1°/ On admet que les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et que pour tout réel x :
cos' (x) = -sin (x)
sin' (x) = cos (x)
a) En étudiant le signe sur [0,pi] des fonctions sinus et cosinus, retrouvez leur tableau de variations. (ça c'est bon je l'ai fait)
b) Justifiez (j'y arrive pas là pourtant ça m'a l'air tout bête !) :
- lim (sin x) / x = 1 (quand x tend vers zéro)
- lim [(cos x) - 1] / x = 0 (toujours quand x tend vers zéro)


2°/ Démontrez que la courbe de la fonction sinus se déduit de celle de la fonction cosinus à l'aide d'une translation.

S'il vous plaît, ne me dites pas : "C'est simple, pourtant !" ou "Tu peux le faire tout seul" ou un truc du genre, ça fait depuis quelques jours que je planche là-dessus !

Je ne suis pas doué dans la rédaction de démonstration, alors si, en même temps, vous pouviez me filer une astuce pour bien les commencer, je serai comblé ! Merci beaucoup !!!

[The Void]

Salut!

Effectivement c'est loin d'être trivial!
Mais j'ai quand même une idée:
lim (x->0) sin(x)/x = lim (x->0) (sin(x)-sin(0))/(x-0) = sin'(0) = cos(0) = 1
Même raisonnement pour l'autre limite:
lim (x->0) (cos(x)-1)/x = lim (x->0) (cos(x)-cos(0))/(x-0)

[Magister]

J'ai pas compris comment tu es passé de lim [(sin x - sin 0) / x - 0] (quand x tend vers 0) à sin' 0... :triste:

[The Void]

C'est la définition de la dérivée (jette un coup d'oeil à tes anciens cours sur les dérivées):
lim (x->a) ( f(x) - f(a) ) / ( x - a ) = f'(a) si f est dérivable en a
Ici, f(x)=sinx

[Darko]

Pour la question 2, montrer que la courbe de la fonction sinus se déduit de celle de la fonction cosinus par une translation revient à montrer que:
sin(x)=cos(x+L)

Est-ce que tu arrive à voir pourquoi?

Enfin pour montrer cela tu pourait tracer un cercle trigonométrique, un angle x quelconque, et l'angle x+L (tu dois avoir une intuition sur la valeur de L non?). Avec un raisonnement géométrique tu arrivera à montrer que sin(x)=cos(x+L)

Si t'as pas compris, dis le, je serais plus clair!!

[Magister]

Ah oui !!! Désolé, j'avais complètement oublié cette définition... Merci The Void.

Pour la 2°, j'ai compris le raisonnement. J'ai bien une idée :id: : utiliser la propriété "sin (pi/2 + x) = cos x" (que j'ai démontré auparavant). A partir de ça, on en déduit la translation, tout simplement. C'est le bon raisonnement ?

Merci encore pour votre aide. :happy3:

[Darko]

Oui, c'est tout à fait ça! Si tu veux etre précis tu peux meme préciser selon quel axe se fait la translation, et à quoi tu le vois dans ton équation!! (je pense que c'est facultatif!!)

[Magister]

L'axe de la translation est demandé, je pense qu'il faut utiliser le fait qu'on utilise x (qui est, dans la courbe, sur l'axe des abscisses). La translation est donc : pi/2 vecteur i (dans un repère O,i,j). Vous me direz si c'est ça.

En tout cas, encore une fois merci !!! :happy2:

[Darko]

Oui, C(sin)=C(cos)+pi/2*i avec i le vecteur unitaire d'axe Ox, C(sin) la courbe de la fonction sinus et C(cos) la courbe de la fonction cosinus.

On peut justifier que la translation se fait selon l'axe des x car dans l'équation sin(x+pi/2)=cos(x), le "+pi/2" s'applique aux antécédants, à l'intérieur de la parenthèse. Si le "+pi/2" avait été à l'extérieur de la parenthèse, la translation aurait été appliquée aux images, donc selon l'axe des y, mais c'est pas le cas!

Je sais pas si j'ai été très clair...

[Magister]

C'est tout bon, j'ai compris. C'est gentil de ta part, Darko. Merci !

[Darko]

Pas de quoi!