Limites & Suites

[Babouche]

Bonsoir,

Besoin de votre aide pour la dernière partie de mon DM de maths :help:

"La suite de Finonacci"

v est la suite définie par = = 1 et pour tout entier n : =
On admet que pour tout n, est différent de 0

Calculer , ... :we:

Pour tout entier n, on pose =

Calculer , ... :we:

Démontrer que pour tout entier n, :we:

F est la fonction définie par ]0;+\infty[ par f(x) = 1 +

Dans un repère orthonormé, tracer la courbe C représentative de f et la droit D d'équation y = x. A l'aide de C et de D, représenter les premiers termes de la suite w. :we:

Calculer l'abscisse du pt d'intersection de C et D, j'ai trouvé + :we:

Conjecturer la limite de la suite w : il semble qu'il s'agit du pt d'intersection de C et D, +

Démontrer cette conjecture, là je ne sais pas comment faire :triste:, je pensais l'encadrer avec mais c'est une suite définie par récurrence, on n'a pas encore abordé ce type de suite en cours, seulement les limites de suites, fonctions & les opérations sur les limites ...

[Ericovitchi]

déjà tu sais que si la fonction tends vers une limite L étant donné que alors par passage à la limite L=1+1/L d'où le L que tu as déjà conjoncturé (le nombre d'or évidemment).

Maintenant il faut que tu montres que ta suite converge.

[Babouche]

Je comprends toujours pas :triste:

Comment, je peux savoir que la suite converge ? :help:

[Babouche]

Comment puis - je prouver qu'elle tend vers une limite L, ?

[Babouche]

Il faut que je prouve que est croissante et bornée et donc, elle converge, non ? :help:

[Ericovitchi]

Formes par exemple qui montre que la suite est décroissante et minorée par 0 donc convergente

[Babouche]

Il n'y a pas d'autres méthodes ? On n'a encore jamais abordé cette méthode en cours --"
Je pensais démontrer que = est convergente
Ensuite pour trouver la limite, remplacer par L ds l'équation : = 1 +

Je n'arrive pas à démontrer que est convergente :help:

[Ericovitchi]

Comme tu le vois sur cette image qui matérialise les différents termes de ta suite,les Wn passent successivement à droite et à gauche de leur limite.

Si tu veux montrer que la suite wn converge, il faut donc soit étudier la valeur absolue de |L-wn| (c'est ce que j'avais fait mais ça n'a pas l'air de te plaire) soit considérer des sous suites d'ordre pair et impaire et montrer qu'elles sont croissantes et décroissantes. (et comme elles sont respectivement majorée et minorée, elles convergent).
Donc il faut que tu étudies f(f(xn))
(et comme f(f(x))=2-1(x+1) est croissante, on trouve facilement)

Voilà un lien vers d'autres démonstrations possibles si tu veux faire le tour de la question.