Limite de fonctions

[Bertrand Hamant]

bonsoir


soit f une fonction définie sur [ 0 ; + 00 [

tel que f(x) = sqrt(1+x) - sqrt(x) (sqrt = racine carré = V )

vérifier que pour tout x > 0 f(x) = 1 / sqr(1+x) + sqrt(x) c vrai avec quantité conjugué

déduisez en que pour tout réel x > 0

1/ 2.sqrt(x+1) < f(x) < 1/2.sqrt(x)

c la deuxième question que je ne comprend pas

[Zebulon]

Bonsoir,
il suffit de partir de l'inégalité: .
Bon courage et à bientôt,
Zeb.

[rene38]

Bonjour

donc


(1)


(2)

(1) et (2) donnent
donc
soit

[Anonyme]

nous avons avec tous réels a, b :
a²-b² = (a-b)(a+b)
on appelle a = sqrt(1+x); b = (sqrt(x)
=> (sqrt(1+x))² - (sqrt(x))² = (sqrt(1+x) - sqrt(x))(sqrt(1+x) + sqrt(x))
<=> (1+x-x) = (sqrt(1+x) - sqrt(x))(sqrt(1+x) + sqrt(x))
<=> 1 = (sqrt(1+x) - sqrt(x))(sqrt(1+x) + sqrt(x)) (n)
avec tout x>0 : sqrt(1+x) + sqrt(x) > 0 (m)
depuis (n) et (m) on a :
sqrt(1+x) - sqrt(x) = 1/ (sqrt(1+x) + sqrt(x))
c'est vérifié !

2e pb:
f(x) = 1/ (sqrt(1+x) + sqrt(x))
il est évident que avec tout x > 0
x+1 > x
<=> (sqrt(1+x) > sqrt(x)
on appelle a = sqrt(1+x) et b = sqrt(x) (pour raccourcir)
a > b
a + a > a + b > b + b
2a > a + b > 2b
1/2a < f(x) < 1/2b
ok ?