Limite de fonction

[LéaM1213]

Bonjour, J'ai une grosse éval qui m'attend pour la rentrée et et j' ai vraiment du mal avec ce chapitre. J'ai vraiment pas eu de chance, j'ai contracté la covid, une fois, et j'ai étais cas contacte une autre fois. En bref, ça à était très compliqué de suivre et je crain réellement le jour de ce fameux contrôle. Ce jour approche à grand pas, mais je ne suis toujours pas prête!
Ce forum et mon dernier espoir, j'espère que vous pourrez m'aider.
Sur ce, voilà les exercices:

Exercice 1
f est une fonction définie sur ]0 ;+∞[ par f (x)=x^2/x+1
Déterminer la fonction affine g telle que lim f (x)−g(x)=0
x→+∞

Exercice 2
f est une fonction définie sur ℝ par f (x)=√x^2+4−x
Étudier la limite de f en −∞ puis en +∞ .
Conseil : Se souvenir que (a−b)(a+b)=a^2−b^2

Voilà, merci d'avance

[Rdvn]

Bonsoir
Précisez vos énoncés, attention aux notations :
ex1 ce que vous marquez serait en fait f(x)=x+1 sauf pour x=0.
N'est ce pas plutôt f(x)=x^2/(x+1) ?
ex 2 en notant rc(a) pour racine carrée de a (positif ou nul)
N'est ce pas f(x)=rc(x^2+4)-x ?
Apportez les précisions voulues puis je vous aiderai

[LéaM1213]

Bonsoir et merci de m'avoir répondu.
Je suis désolé, je vais me corriger.
Donc pour l'exercice 1 c'est:
f est une fonction définie sur ]0 ;+∞[ par f (x)=x^2/(x+1)
Déterminer la fonction affine g telle que lim f (x)−g(x)=0
x→+∞

Exercice2:
f est une fonction définie sur ℝ par f (x)=rc(x^2+4)−x
Étudier la limite de f en −∞ puis en +∞ .
Conseil : Se souvenir que (a−b)(a+b)=a^2−b^2

Voilà et merci encore.

[Rdvn]

OK, mais dans votre propre intérêt soyez persuadée qu'il est très important de bien situer les parenthèses.
Conformément à la charte du forum je vous donne des indications, puis vous proposez vos essais (donner une réponse complète tout de suite ne vous servirait à rien).
Exercice 1
Plusieurs méthodes sont possibles, quelle est celle qui se rapproche le plus de votre cours :
*)Effectuer la division euclidienne de x^2 par x+1
*)Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout x de [0,+infini[
f(x)=ax+b+c/(x+1) en identifiant deux polynômes (c'est en fait une variante de ci dessus)
*)On pose g(x)=ax+b, on pose h(x) = f(x) - g(x) , puis on suppose que h(x) tend
vers 0 lorsque x tend vers +infini , ceci implique que h(x)/x tend vers 0 ce qui donne
la seule valeur possible pour a
Essayez selon ce qu'en dit votre cours, proposez votre essai
Bon courage

[LéaM1213]

Merci, je vais faire de mon mieux avec toute ces aides. Bonne soirée.

[Rdvn]

Il n'est pas nécessaire de proposer une réponse complète, mais du moins des essais, je compléterai ce qu'il faut étape par étape, puis nous pourrons traiter l'exercice 2 (qui finalement est mois dur à rédiger, mais il y a une "astuce" à connaitre ... à suivre)
Bon courage

[LéaM1213]

Bonjour et excusez moi d'il vous plait. J'ai rencontré des problèmes hier qui mon coupé sur la réalisation de mes exercices. Je ne sais pas par où commencer. Pouvait m'aider.

[Rdvn]

Je peux vous aider, mais, parmi les trois propositions de ma première réponse, quelle est celle qui
semble pratiquée dans votre cours ?
*) division euclidienne : il y a le symbole division mais avec des polynômes :

http://www.gycham.vd.ch/favre/1Ms/divis ... omiale.pdf

voyez l'exemple, mais si ce n'est pas vu en cours n'insistez pas

*) chercher a,b,c :
ça doit se présenter dans l'énoncé

*)troisième méthode , avec ma première réponse on a :
h(x)/x = f(x)/x - a -b/x , de limite nulle pour x tendant vers +infini
Laquelle de ces méthodes est elle évoquée en cours, ou peut être lors d'un exercice ?
Essayez de répondre vite au moins à la question : lequel de ces trois choix, et je vous en dirai plus

[LéaM1213]

Merci. Je pense que la méthode qui me correspondrais le mieux serais la deuxième. C'est la seul que j'ai vue.

[Rdvn]

Voyez dans 10 mn, la connexion est instable

[LéaM1213]

D'accord merci

[Rdvn]

En multipliant terme à terme par x+1 on a
x^2=(ax+b)(x+1)+c
on développe et on regroupe les termes de même degré
x^2=ax^2+(a+b)x+b+c
Cette égalité étant vérifiée pour tout x réel positif il vient
a=1
a+b=0
b+c=0
d'où b= -1 et c=1
x^2/(x+1)=x-1+1/(x+1)
Comme on n'a pas procédé par équivalences (c'était faisable, mais je ne l'ai pas fait pour alléger l'indication) on vérifie que cette égalité a lieu pour tout x de [0,+infini[
tout simplement en réduisant au même dénominateur à droite, ce qui met aussi à l'abris d'une erreur de calcul)
Ceci établi la fin de votre exercice c'est deux lignes, faciles
A vous puis on verra ex2

[LéaM1213]

D'accord merci

[LéaM1213]

C'est fait ensuite pour l'exercice 2 en général j'y arrive, mais là je ne comprend pas vraiment pourquoi on à besoin des identités remarquable .

[Rdvn]

Ex2
Tout cela est une question de "forme indéterminée ou non ?"
Forme indéterminée pour une somme : (+infini)+(-infini) , à savoir par cœur sans hésitation.
Pour une différence on considère A-B=A+(-B) pour voir si on a une forme indéterminée ou non .
(les autres formes indéterminées sont :
0*infini, pour un produit
0/0 ou infini/infini, pour un quotient
où infini désigne indifféremment +infini ou -infini )

Revenons à votre exercice 2

Lorsque x tend vers -infini il n'y a pas de forme indéterminée, vous pouvez conclure par les théorèmes généraux
(remarquez : les résultats de ces théorèmes sont toujours conformes à "ce qu'on a envie de dire spontanément" , seules les formes indéterminées réservent de mauvaises surprises).

Lorsque x tend vers +infini, il y a une forme indéterminée : on ne peut rien conclure tout de suite, c'est là qu'intervient votre indication, et une astuce :
A=(A.B)/B pour B non nul
ici sur [0,+infini[
f(x)=rc(x^2+4)-x = ( (rc(x^2+4)-x).(rc(x^2+4)+x) )/(rc(x^2+4)+x), d'où avec l'indication de l'énoncé...
A vous à présent, je reste à l'écoute ...

[LéaM1213]

Est ce que c'est comme ça ?:
limite quand x tend vers +l'infinie de rc(x^2+4)=+l'infinie
limite quand x tend vers +l'infinie de -x l'infinie= -l'infinie
Nous avons une forme indéterminé du type l'infinie moins l'infinie. On factorise par le terme de plus haut degrés, ce qui donne : x^2(rc (1+4/(x^4)-x/(x^2))
Ainsi lim quand x tend vers +l'infinie de 4/(x^2)=-x/(x^2)=0
Lim quand x tend vers +l'infinie de x^2 =+l'infinie
Donc la limite quand x tend vers +l'infinie de f(x)=+ l'infinie.

[LéaM1213]

Je n'avais pas vue votre réponse, je vais le re faire

[Rdvn]

Refaites
Sur papier avant de recopier à l'écran
(à l'écran on ne voit rien)

Attention au signe pour la forme indéterminée d'une somme :
(+infini)+(-infini) c'est indéterminé
(+infini)+(+infini) c'est théorème général

Commencez par x tendant vers -infini (plus facile , pas de forme indéterminé)

[LéaM1213]

OK alors lim de f(x) quand x trend vers - l'infinie :

Lim quand x tend vers -l'infinie de rc(x^4+4)=+l'infini
Lim quand x tend vers - l'infini de -x=+l'infini
Donc par somme lim quand x tend vers -l'infini de f(x)=+m'infini

[Rdvn]

Ca va
Éventuellement, enfoncez le clou : cette étude de limite ne comporte pas de forme indéterminée, donc,
par somme ... votre conclusion.

Au passage: pour x tendant vers +infini (on se place systématiquement sur ]0,+infini[ pour avoir x>0)
Souvent, mettre en facteur le terme de plus haut degré donne la solution, mais pas ici
rc(x^2+4)-x = rc(x^2(1+4/x^2))-x = x.rc(1+4/x^2)-x, sachant x>0, et donc
rc(x^2+4)-x =x.(rc(1+4/x^2)-1) mais on retombe sur une forme indéterminée de type 0.(infini),
et c'est là qu'il faut rebondir sur l'astuce de ma réponse précédente.

J'ai lu vos autres post sur le site, ne vous mettez pas martel en tête : les maths c'est comme la maçonnerie ou la plomberie : il faut de l'expérience, du "métier".
Une seule solution : mettre les mains dedans, sans complexe.
Bon courage
(je continue à vous suivre)