Les nouvelles aventures rocambolesques de Bibi au pays des M

[Anonyme]

Bonjour Messieurs-Dames !
Vous aviez aimé les tergiversations de Bibi, épisodes 1 et 2 ? Vous frémirez d'émotion devant ce nouvel épisode !

Résumé des épisodes précédents :
Bibi, avec moultes difficultés, arrive enfin à la page 28 de son livre d'exercices
Episode 3 :
Bibi , après de longues heures de marche, s'écorche les genoux (notez le x, car Bibi n'est pas littéraire pour rien) sur quelques cailloux (notez le x, car Bibi n'est pas littéraire pour rien) de taille moyenne, propres à lui causer bien des sueurs froides.
Aussi, s'étant longuement échinée sans succès, Bibi décide de prendre contact avec les autochtones courament nommés les M'Ah-teux (notez le x, car ... bref).
C'est ici que vous rentrez en scène, dans cette aventure dont vous êtres l'un des nombreux héros.

Présentation sommaire des caillasses sus-citées :

(note : le symbole sqrt{ désigne la racine carrée de ce qui est entre parenthèses. non contente d'êtyre incapable de se débrouiller toute seule au pays des maths, Bibi ne connait pas un traître mot du patois local, le LaTeX)

1- Résoudre

pour celle ci Bibi a pourtant tenté de mettre la deuxième expression au même dénominateur, mais sans succès

2- Résoudre

pour celle si Bibi a pourtant tenté de mettre le tout au carré, mais la fourbe résista

3- Dire si l'affirmation suivante est vraie ou fausse. Si elle est vraie, la démontrer, sinon, fournir un contre exemple
est inférieur ou égal à pour tout et réels
sur celle ci Bibi ne savait même pas de quel côté user de sa pioche puisqu'elle ignore si l'affirmation est vraie ou fausse pour tout x ......

4- Montrer que pour tout x et m réels tels que x supérieur ou égal à m, on a :

Bibi a transformé ceci en
2m² + 2|m| + x + 2|m|x supérieur ou égal à zéro, mais ne voit pas comment s'en dépêtrer

5- Montrer que pour tout a,b,c réels tels que c strictement supérieur à 0 et b supérieur ou égal à a supérieur ou égal à 0 on a :
sqrt{a} - sqrt{b} inférieur ou égal à (1/c)(b-a) + c

C'est fini ! Mais trop pour un seul homme, sans doute.
Aussi, si le coeur vous en dit de porter secours aux étrangers qui parcourent les terres mathématiques, mais que fournir une piste pour le délogeage d'un des cinq cailloux vous semble amplement suffisant (voire le maximum humainement envisageable), Bibi ne vous en tiendra pas rigueur, bien au contraire, mais précise qu'elle ne fournira pas son numéro de CB par message privé.

En espérant qu'en ce pays hostile, quelques M'At-heux (pourtant réputés farouches et fiers) lui viendront en aide,
Bibi
(et si vous avez sous la main un dictionnaire LaTeX , ça m'aiderait aussi)

[Alpha]

Salut, Bibi!

Ce soir je n'aurai pas le temps, personnellement, de résoudre ton problème, mais je peux d'ores et déjà t'indiquer un dictionnaire sommaire sur LaTex :

http://www.ilemaths.net/guide-latex.php

De plus, dans la discussion dont se trouve ci-dessous le lien, sont indiquées des adresses qui t'enverront sur des "dictionnaires" LaTex qui t'indiqueront comment t'en servir :

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=3414

Allez, pour la peine, je copie-colle tout, ça ne coûte pas grand chose!

http://math.univ-lille1.fr/~flipo/doc/dfshort.pdf
http://frederic1977.club.fr/apprends-latex.pdf
http://mirabellug.org/wikini/upload...ions_Latex5.pdf
http://asoyeur.free.fr/mathematiques/typographie.html
http://www.grappa.univ-lille3.fr/FAQ-LaTeX/


En attendant que tu prennes connaissance de tout cela, ja vais voir si je peux modifier ton message pour mettre en Tex les parties qu'il faut.

Cordialement

:happy3:

[Alpha]

Voilà, j'ai quelque peu arrangé ton message, mais je t'ai laissé les dernières lignes d'expressions mathématiques à mettre en Tex, ça te fera un entrainement... Il te suffit de taper le texte dans le langage Tex, puis de le sélectionner, et de cliquer sur Tex en haut à droite. A noter que chaque commande comme sqrt doit être précédée d'un \, ce qui donne \sqrt.

Mais avec les liens que je t'ai indiqués, tu devrais comprendre cela tout seul.

:happy3:

[Nightmare]

Bonjour :happy3:

Pour le 2. voici ce que je propose :

A] Conditions de validité
pour que l'équation ait un sens, x doit vérifier le systéme d'inéquation :


De (1) on a

On peut réécrire (2) :

Or comme d'aprés (1), les deux membres sont positifs on peut donc les élever au carré et ainsi écrire :

soit encore :

Par chance c'est un carré parfait et l'inéquation devient :
qui est valable pour tout x.

On peut aussi réécrire (3) :

Pour x plus grand que 1 les deux membres sont positifs ainsi on peut les élever et carré.
On obtient alors :

il advient :

ie :
qui est vraie pour tout x.

Au final on a pour seul restriction .



B]Résolution :
On remarque que

De même :


On en déduit :


Voila déja deux racines qui disparaissent . Probléme : les valeurs absolues.

Pas de probléme, on va s'en séparer .

Tableau de signe :


On en déduit :

sur :
L'équation devient alors :

ie

en élevant au carré et en transposant :

par conséquent cette solution convient .

sur :
l'équation devient :
qui est vraie quelque soit x.
Ainsi tous les éléments de conviennent.

sur :
L'équation devient alors :

soit

en élevant au carré et en transposant :

10 est bien dans l'intervalle donc cette solution convient.


Finalement, l'ensemble des solutions est l'intervalle

:happy3:
Jord

[N_comme_Nul]

Salut !

Tiens, pour la 2-, ça me rappelle quelque chose :
[CENTER]Ici [/CENTER]

[Nightmare]

Arf, tout ce travail pour rien :triste:

[N_comme_Nul]

Salut Nightmare !

Pour rien ? Tu exagères là, non ?
(Ce qui avait été fait précédemment ne suggérait que des pistes.)

[Nightmare]

Oui mais ta solution proposée dans l'autre topic est bien plus simple que la mienne :briques:

[N_comme_Nul]

Et bien au moins avec la solution que tu proposes, tout est détaillé. :+++:
Et cela montre, une fois de plus, qu'il n'existe pas qu'une seule façon d'aborder les problèmes. (Au fait, il est pas mal ce forum hein ?)

J'arrête là la "pollution" de ce topic.

[Nightmare]

Oui je l'aime bien :happy3: , mais je reste fidéle à l'île tout de même :we:

:lol3:
Jord

[N_comme_Nul]

Bon, je m'attaque au 3- (il est tard, alors vérifications à faire impérativement).

Puisque le problème est symétrique, on peut supposer que donc (entre autres) : .

La propriété à démontrer revient à démontrer que :
[CENTER][/CENTER]

Pour l'inégalité de droite, c'est ok ( et ).

Pour l'inégalité de gauche, cela revient à démontrer que :
[CENTER][/CENTER]
or [CENTER][/CENTER]
Comme on a du positif, le résultat suit : la propriété est vraie pour tous réels et positifs ou nuls.

[Nightmare]

Attention tout de même, l'énoncé du 3- suggére x et y réels mais il faut préciser positifs sinon là on est sur que la la propriété est fausse :lol3:

:happy3:
Jord

[Anonyme]

Tout d'abord, généreux M'hAt-eux, merci.

(ou en effet N j'avais déjà posté pour le 2- mais comme je n'arrivais toujours pas à le résoudre, je suis passée aux exercices suivants, et j'ai fait de même à chaque fois que je n'arrivais pas à avancer... j'en avais un peu marre honnêtement de passer des heures carrées -c'est le cas de le dire- une débroussailleuse à la main, un crayon de l'autre. une fois arrivée à cinq exos sautés au total, je suis venue poster, et il m'a semblé plus judicieux de tout centraliser dans un seul post plutôt que de reprendre l'ancien. Mouala.)

-----------

Tout d'abord une petite reformulation de ce qui n'avait point été traduit (excusez, j'ai pas encore bien chopé l'accent, hein)

4 - Bibi a transformé ceci en
, mais ne voit pas comment s'en dépêtrer

5 - Montrer que pour tout a,b,c réels tels que et on a :


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Pour ce qui est des solutions proposées je ne peux que vous en remercier (et louer le totem des M'hAt-eux qu'elles m'aient été fournies avec moulte détails) encore une fois avant de chausser mes binôcles de sept lieux et de mettre mon imprimante à contribution ... Vous l'aurez compris, je vais me pencher dessus, en espérant ne point chuter .... à bientôt pour la suite

[Nightmare]

Re :happy3:

Heureux d'avoir pu t'aimer pour le 2-

montrer que :


Les deux membres sont positifs (je te laisse le soin de le démontrer).

En élevant au carré :

soit en développant :


On simplifie par 1+x² ce qui donne :


Or pour x supérieur à m :
et c :

Ainsi :

Si m est négatif :

Si m est positif :


Quelque soit la valeur de m , est positif.
Or , comme :

On en conclut :

c'est à dire :


Modulo étourderies

:happy3:
Jord

[Alpha]

Re :happy3:

Heureux d'avoir pu t'aimer pour le 2-

Whaaaoooooo, Jord, mais en plus, tu es un tombeur, dis-moi!

:ptdr: :ptdr: :ptdr:

[Nightmare]

Oupssss :girl2::girl2::girl2:

Pas fait exprés :briques:

[Galt]

Le 5 me semble trivial en l'état, le terme de gauche est négatif est celui de droite positif.
Si on échange (c'est à dire , on peut le faire en s'intéressant à l'expression . On peut montrer que l'on a toujours puisque . Il reste donc à prouver que , on élève les deux termes au carré (ils sont positifs) pour obtenir ou encore , ce qui est logique puisque le terme de droite est plus grand que
Et voila

[Nightmare]

Deja deux erreurs dans les énoncés (je rappelle l'erreur du x et y réels alors qu'ils sont radicandes ...), est-ce normal ?

:happy3:
Jord

[Anonyme]

Lol Nightmare.... Décidément l'écriture forumistique va bien de pair avec l'ambiguïté... Bref. Pour l'explication psychanalytique, on verra plus tard.

En tout cas, pour le 2, c'était limpide !

Pour le 3, je suis confuse mais un léger bégaiement m'a fait mal écrire l'énoncé :

3- Dire si l'affirmation suivante est vraie ou fausse. Si elle est vraie, la démontrer, sinon, fournir un contre exemple
pour tout et réels

(j'avais manifestement oublié les deux premières valeurs absolues) vraiment désolée de vous avoir fait plancher sur un mauvais énoncé, je suis impardonnable !!
(mais où est passée cette #§!*$ corde, jamais là quand on en a besoin !?)

Cela dit, en réutilisant à bon escient la solution indiquée (toujours valable pour x et y positifs) , peut être que ça pourrait marcher (en tout cas je n'ai aucun contre exemple sous la main)


Quant aux dernières contributions, je remercie de nouveau leurs auteurs respectifs (ça devientune manie) et m'en vais illico dégainer mes lorgnons embués, et tacher d'éclaircir l'affaire... qui ne s'annonce pas mince

[Nightmare]

Tu peux en effet essayer de passer par une méthode similaire à celle qu'a employé N_comme_Nul, à vrai dire je ne sais pas, je ne me suis pas penché sur celui là ...

Je vais voir ce que je peux trouver.

Heureux d'avoir pu t'aider encore une fois

:happy3:
Jord