Les lois discrètes terminale

[mllenullenmaths]

Bonjour, je dois faire un dm en maths et il y a une exercice ou je suis bloquée, pouvez vous m'aider svp? J'ai répondu à la première question mais la deuxième je ne comprend pas ce qu'il faut faire...
L'exercice est le suivant :

Quand Munir va faire ses courses, il prévoit toujours la même liste de 30 articles. Malheureusement, pour chaque article indépendamment les uns des autres, il a remarqué que la probabilité que l'article soit en rayon est 0,8.

1) Déterminer un intervalle de fluctuation centré au seuil de 95% du nombre d'articles qu'il trouvera sur les 30.
2) Déterminer le plus petit intervalle de fluctuation de la forme [a;30] au seuil de 99% puis interpréter cet intervalle dans les termes de l'énoncé.

Donc pour la première question j'ai utilisé la calculatrice et j'ai trouver que l'intervalle I=[19;28]. Mais je ne comprend pas la deuxième, merci d'avance pour votre aide.

[hdci]

Bonjour,

Pour la première question, êtes-vous sûre de l'intervalle ? On a P(19<=X<=28)=0,98, mais l'intervalle n'est pas exactement centré sur l'espérance et on peut trouver "un peu mieux"

Pour la seconde question, l'intervalle au seuil de 99% ne signifie-t-il pas que la probabilité d'être dans cet intervalle est supérieure ou égal à 99% ? Sachant qu'on recherche un intervalle non centré mais "à la fin".
Vous devez donc chercher a tel que mais

[mllenullenmaths]

euhhh merci pour votre réponse mais je n'ai pas compris grand chose

[hdci]

Quelle partie n'avez vous pas compris ?

1) Concernant la première question ? Comment avez-vous trouvé l'intervalle [19;28] ?

2) Pour la seconde question, si j'écris, est-ce plus clair ?

Question subsidiaire : vous êtes en quelle classe ? En France ou à l'étranger ?

[mllenullenmaths]

Quelle partie n'avez vous pas compris ?

1) Concernant la première question ? Comment avez-vous trouvé l'intervalle [19;28] ?

2) Pour la seconde question, si j'écris, est-ce plus clair ?

Question subsidiaire : vous êtes en quelle classe ? En France ou à l'étranger ?

Alors je suis en France en terminale avec l'option maths complémentaire. Pour trouver l'intervalle j'ai utilisé la calculatrice aves le binomFRep, j'ai rentré le n, le p, et sur la table j'ai chercher P(X<=a) > 0,025 et P(X<=b)>= 0,975. C'est ainsi que j'ai trouvé [19;28].
Pour la deuxième question, j'ai beau chercher dans mon cour je ne retrouve pas ce que vous m'avez écrit alors j'ai du mal à comprendre

[hdci]

Pour la question 1)
Au temps pour moi, effectivement j'ai utilisé une autre logique.

Dans le contexte : vous voulez un intervalle "centré" représentant le plus petit intervalle représentant 95% de succès.
Comme il est centré, on dit donc que "avant" cet intervalle, on a 2,5%, et "après" cet intervalle, on a 2,5% également.
Mais évidemment, les probabilités que l'on manipule ne tombent pratiquement jamais "pile poil" sur ces 2,5% (ce serait trop beau); la convention est donc de dire : "avant on n'a pas plus de 2,5%", donc l'intervalle [a,b] que l'on cherche vérifie que P(X<a) n'est pas plus que 2,5%. Par suite, P(X<=a) est forcément strictement plus grand que 2,5%, et le nombre a correspond donc au plus petit entier vérifiant cela, ou dit autrement, le premier entier (dans l'ordre) vérifiant cela.
On traite de même de l'autre côté : on cherche b tel que P(a<=X<=b) soit égale à 95% (avec la remarque précédente "on ne tombera pas pile poil sur 95%). Mais alors, cette "largeur" de 95%, ajoutée à une "largeur" de moins de 2.5% (pour rajouter les cas de 0 jusqu'à a-1), cela fait 97,5% au total, donc on choisit pour b la première valeur telle que P(X<=b) soit au moins 97,5%.

Pour la question 2) :
On raisonne de la même façon, avec deux changements : on ne veut pas une plage de 95%, mais une plage de 99%, d'une part, et on ne cherche pas un intervalle centré, mais un intervalle "de fin" (puisqu'il va jusqu'à 30, qui est la dernière valeur possible pour X), d'autre part.

Si on cherchait l'intervalle centré, on ferait comme pour la question 1, sauf qu'au lieu de "prendre 2,5% de chaque côté" on "prendrait 0,5% de chaque côté" (puisque 0,5% est la moitié du reliquat 1%) avec la même méthode d'approximation.

Mais dans le cas présent la borne de fin, le nombre b, est exactement égal à 30. Donc le 1% de reliquat est forcément avant (puisqu'il n'y a plus rien après 30). On cherche donc a tel que P(X<a) soit strictement inférieur à 1%, et P(X<=a) soit au moins 1%

(Précision : ce n'était pas dans votre cours car probablement que l'on vous demandait de faire le raisonnement pour aboutir à ce résultat).

[mllenullenmaths]

Mais dans le cas présent la borne de fin, le nombre b, est exactement égal à 30. Donc le 1% de reliquat est forcément avant (puisqu'il n'y a plus rien après 30). On cherche donc a tel que P(X<a) soit strictement inférieur à 1%, et P(X<=a) soit au moins 1%

D'accord, je crois que j'ai compris le raisonnement, mais du coup, il faut faire P(X<a)<0,01 ou P(X<=a)>=0,01? Merci en tout cas

[mllenullenmaths]

parce que si je fais P(X<=a)>=0,01 ça me donne le même résultat que pour le 1) pour le a c'est à dire 19...

[hdci]

D'accord, je crois que j'ai compris le raisonnement, mais du coup, il faut faire P(X<a)<0,01 ou P(X<=a)>=0,01? Merci en tout cas

Pour le cas 95%, vous avez fait P(X<=a)>2,5%
Donc ici, même logique... L'intervalle [a,30] doit avoir une probabilité d'au moins 99% et doit être le moins large possible (en effet, l'intervalle [0;30] a une probabilité de 100%, "supérieure ou égale à 99%" et cela ne nous intéresse pas).
Donc l'intervalle [a,30] a une proba supérieure ou égale à 99%, mais l'intervalle [a+1,30] a une proba strictement inférieure à 99%. Il s'en suit que l'intervalle [0,a] a une proba égale à 100% moins un truc strictement inférieur à 99%, donc a une probabilité strictement supérieure à 1%.
C'est donc bien P(X<=a)>1% et a est "le plus petit entier" vérifiant cela.
(Ceci dit, ici cela ne change rien puisque que l'on mette >1% ou >=1%, on trouve 19 : P(X<=18)=0,00949... et P(X<=19)=0,025616...).

parce que si je fais P(X<=a)>=0,01 ça me donne le même résultat que pour le 1) pour le a c'est à dire 19...

Et en faisant P(X<=a)>0,01 on trouve la même chose : a=19. Cela ne gène pas en fait.

[mllenullenmaths]

d'accord merci beaucoup!