[TS] - les exponnentielles

[Anonyme]

bonjour,

j'aurais besoin de quelques explications pour résoudre mon exo

On définit la fonction f par f(x)=(2e^x - 1)/ (e^x + e^2) sur R . C désigne sa représentation graphique.

1) calculer les limites de f en + l'infini et - l'infini
=> lim f en + l'infini = 0 et lim de f en -l'infini = -1

2) étudier la dérivabilité de f et calculer f'(x) en considéérant f comme une composée
=> f est la composée de (2e^x - 1) et de 1/(e^x + e^2)
=> f'x = e^x

3) prouver que f admet un centre de symétrie q
=> comment faire ?

4) montrer que l'étude de la position de C par rapport à sa tangente en q équivaut à l'étude du signe de ((2e^2 + 1)/(4e^2(e^x + e^2)) g(x)
=> là idem, je ne vois vois ?

[becirj]

Bonjour
Je ne suis pas d'accord avec tes réponses.

1. Pour étudier la limite en , il faut mettre en facteur au numérateur et au dénominateur puis simplifier par . Comme , son inverse a pour limite 0 et tu obtiendras
En - c'est immédiat car
(Revois bien ton cours sur la fonction exp)

2. Je ne suis pas non plus d'accord. f est la composée de la fonction exp suivie de la fonction rationnelle g : .
J'obtiens

[becirj]

Suite

3. Te donne-t-on les coordonnées du point q ?
Snon, j'ai trouvé q (Si nécessaire, je t'indiquerai comment je les ai trouvées).
Pour démontrer qu'il s'agit d'un centre de symétrie, il y a plusieurs méthodes possibles, tu en as certainement vu au moins une dans ton cours.

4. Pour étudier la position de la courbe par rapport à la tangente, tu commences par écrire l'équation de la tangente sous la forme y=ax+b, puis tu calcules f(x)-(ax+b) (avec les a et b que tu as trouvés), puis étudie le signe de cette différence ; si elle est positive f(x)>(ax+b), la courbe est au-dessus de la tangente, si elle est négative f(x)<(ax+b) , la courbe est en dessous de la tangente.

Peut-être à ce soir car je m'absente pour la journée.

[Anonyme]

merci pour ton aide et tes corrections,

pour les questions 1 et 2 je suis d'accord avec toi

3) Prouver que C admet un centre de symétrie q ?
=> non je n'ai pas les coordonées du point q, peux tu m'expliquer comment tu as procéder, stp

4)là j'ai pas tout pigé, j'obtiens des calculs, assez bizzard

[becirj]

3. La limite en + est 2, donc il y a une asymptote d'équation y=2, la limite en - est - donc asymptote d'équation . Si la courbe admet un centre de symétrie, les deux asymptotes doivent se correspondre par cette symétrie, le centre de symétrie doit donc avoir pour ordonnée . On obtient l'abscisse du point q en résolvant l'équation , ce qui donne .

4. Equation de la tangente au point q d'abscisse 2 : soit ce qui donne après réduction
On calcule
On réduit au même dénominateur, on factorise au numérateur par et on obtient (sauf erreur de ma part car c'est assez pénible) et comme je te l'ai écrit précedemment le signe de cette expression permet d'obtenir la position de la courbe par rapport à la tangente.
Le signe est ici celui de
(On peut remarquer que g(x) s'annule pour x=2,ce qui est normal puisque c'est l'abscisse du point de tangence)

Bon courage.

[Anonyme]

merci beaucoup pour ton aide, j'ai encore une petite question :

les coordonnées du centre de symétrie q sont bien x= 2 et y =1-1/(2e^2)

[becirj]

Oui, c'est bien cela.

Bonne continuation.

[Anonyme]

merci becirj pour ton aide, mais je suis en train de refaire les questions 3 et 4 où tu m'as aidé et je n'ai pas bien compris comment tu avais obtenu certaines équations :

3. La limite en + l'infini est 2, donc il y a une asymptote d'équation y=2, la limite en - l'infini est - 1/e^2 donc asymptote d'équation y=-1/e^2. Si la courbe admet un centre de symétrie, les deux asymptotes doivent se correspondre par cette symétrie, le centre de symétrie doit donc avoir pour ordonnée 1/2(2+(-1/e^2))=1-1/e^2 .
=> je ne comprends pas car il n'ya a plus de x, comment tu as fait pour l'obtenir, à partir de quelle formule ??

On obtient l'abscisse du point q en résolvant l'équation f(x)=1-1/2e^2, ce qui donne x=2.
=> idem ici, j'ai pas compris comment tu as fait pour obtenir x=2 alors que dans ton équation il n'y a pas de x mais juste f(x)=1-1/2e^2

4) il faut trouver l'équation de la tangente
y=f'(2)(x-2)+f(2)
y=(2e^2+1/4e^2)x - 1/e^2 => ok avec toi
mais après je ne comprends pas trop ?

[becirj]

Bonjour

Pour la troisième question, le centre de symétrie doit être à égale distance des 2 asymptotes, comme les coordonnées du milieu d'un segment sont égales à la demi-somme des coordonnées des extrémités, j'ai calculé l'ordonnée du centre de symétrie en faisant la demi somme de 2 et - .
Le centre de symétrie appartient à la courbe, comme je connais maintenant son ordonnée , je calcule son abscisse en résolvant l'équation . Je te détaille la résolution


En développant et en réduisant :


En simplifiant soit x=2.

Question 4.
Soit y=ax+b (l'équation réelle est un peu longue à taper), l'équation de la tangente. La courbe est au dessus de la tangente lorsque f(x)>ax+b et en dessous dans le cas contraire. Pour comparer 2 nombres, la meilleure méthode est souvent d'étudier le signe de la différence des 2 nombres et c'est ce que j'ai calculé.
Comme est toujours positif , la différence est du signe de g(x).
Si g(x)>0 alors f(x)>ax+b donc la courbe est au-dessus de la tangente.
Si g(x)<0 alors f(x)<ax+b donc la courbe est en dessous de la tangente.

(C'est une méthode à retenir pour étudier la position d'une courbe par rapport à une tangente ou à une asymptote)

[Anonyme]

merci beaucoup bercrij j'avoue que tu as été très claire avec tes explications donc si je veux conclure pour le 4 je peux dire que :

en principe g(x)>0 alors f(x)>ax+b donc la courbe est au-dessus de la tangente.=> puisque e^x est toujours > 0 non ??


bon WE

[becirj]

On n'a pas toujours g(x) positif , sans calcul on peut dire que c'est faux car il s'agit de la tangente au centre de symétrie, donc si , par exemple pour x>2, la courbe est au dessus de la tangente, elle sera en dessous pour x<2;.

Le texte demande-t-il d'étudier le signe de g(x) ?

[Anonyme]

non on me demande juste de montrer que l'étude de la position de C par rapport à sa tangente en q équivaut à l'étude du signe de ((2e^2 + 1)/(4e^2(e^x + e^2)) g(x)
donc j'ai pas besoin de donner sa position, tes explications sont suffisantes