Lemme d'Euclide

[Maths68730]

Bonjour,
Pourriez-vous m'aider et me donner quelques pistes pour ces questions.
Merci d'avance

Lemme d'Euclide :
Si un nombre premier p divise un produit d'entiers x1*x2*...*xk, alors p divise au moins l'un des entiers x1, x2,...,xk.

1) Soit deux nombres premiers distincts p et q, ainsi qu'un entier naturel a. On suppose que : p|a et que q|a. Montrer, avec le lemme d'Euclide, que: p*q|a.
2) Formuler une conjecture qui généralise 1), pour m nombres premiers (m;)2). Prouver cette conjecture, par récurrence sur m.

[zygomatique]

salut

commence avec deux entiers a et b

suppose que a = px + r et b = py + s (avec évidemment 0 =< r < p et 0 =< s < p)

déduis en que si rs <> 0 alors p ne divise pas ab

puis généralise au produit de k entiers

....

[chombier]

Personnellement je serait reparti sur la définition de la divisibilité :

Comme p|a, il existe un entier relatif k tel que p*k = a

q|a peut s'écrire alors q|p*k, et on peut appliquer le lemme d'Euclide à cette dernière assertion.

(ce n'est qu'un début de preuve, la fin est laissée au lecteur)

[zygomatique]

et où sait-on que

Comme p|a

?

ha c'est pour la suite ....

[chombier]

et où sait-on que ?

ha c'est pour la suite ....

C'est pour la question 1) :
1) Soit deux nombres premiers distincts p et q, ainsi qu'un entier naturel a. On suppose que : p|a et que q|a. Montrer, avec le lemme d'Euclide, que: p*q|a.


J'avoue que je n'ai pas très bien compris ni cherché à comprendre ce que tu as fait, tu était parti pour démontrer le lemme d'Euclide ?

[zygomatique]

ha oui effectivement ... lu trop vite ... parce qu'il y avait un produit de k facteurs (ce qui est sans intérêt) ....

p / a <=> a = pm
q / a <=> a = qn

pm = qn + lemme d'Euclide .... p divise qn donc divise l'un au moins des facteurs ....

[Maths68730]

C'est pour la question 1) :
1) Soit deux nombres premiers distincts p et q, ainsi qu'un entier naturel a. On suppose que : p|a et que q|a. Montrer, avec le lemme d'Euclide, que: p*q|a.


J'avoue que je n'ai pas très bien compris ni cherché à comprendre ce que tu as fait, tu était parti pour démontrer le lemme d'Euclide ?

Qu'elle conjecture je peut donc faire après; je ne vois pas...

[chombier]

Qu'elle conjecture je peut donc faire après; je ne vois pas...

Hypothèses : p et q sont premiers et distincts, p|a, q|a

1) Montrons que pq|a

Comme p|a, il existe un entier relatif k tel que p*k = a

q|a peut s'écrire alors q|p*k

p et q sont premiers et distincts, donc p est premier avec q.

Donc d'après le lemme d'Euclide, comme q|p*k et q est premier avec p, ...