voici un exercice tel que celui la :
Exercice :
Soit léquation différentielle ( E ) : y(x) + 2xy(x) = u(x) où u est une fonction continue sur R.
1) Donner la solution générale de léquation homogène associée.
2) On suppose que u(x) = 2x^3
a) Déterminer une solution particulière sous la forme dun polynôme du second degré.
b) En déduire la solution générale de léquation ( E ).
3) On suppose que u(x) = e^-x (2x² - x + 1).
a) On admet quune solution particulière de léquation ( E ) est de la forme
y0 (x) = e^-x z0 (x) où Z0 est une fonction dérivable sur R.
Donner léquation différentielle vérifiée par Z0.
b) Déterminer Z0 (x) sous la forme dun polynôme du premier degré.
c) En déduire la solution générale de léquation ( E ).
Il a été corrigé en classe et je dois prendre la correction car j'etais absent. seulement voila la correction du 3 où j'ai un gros doute :
3)
a)
yo = e^-x.zo
yo' = -e^-x .zo + zo'(e^-x)
yo' + 2xyo = -e^-x .zo + zo'(e^-x) + 2x.e^-x.zo
yo' + 2xyo = e^-x .(-zo + zo' + 2x.zo)
yo' + 2xyo = e^-x .(zo' + zo(2x-1))
On a donc:
zo' + zo(2x-1) = 2x² - x + 1
---
b)
zo = ax + b
zo' = a
zo' + zo(2x-1) = 2x² - x + 1
a + (ax+b)(2x-1) = 2x² - x + 1
2ax² + x(2b-a) - b + a = 2x² - x + 1
-->
a = 1
2b-a = -1
-b+a = 1
soit: a = 1 ; b = 0
zo = x
--> y = x.e^-x
dans le b) je trouve a = 2 et non pas a=1 puisque l'on a 2ax²....
je me trompe ? et si oui pourquoi 1 ?
Si j'ai raison dans ce cas zo = 2x et y = 2x.e^-x ?
Merci de cette verification !