Irrationnalité de e

[kadaid]

Bonjour
Voici un sujet que j'ai pris sur un site, je ne me rappelle plus lequel, et j'ai trouvé interessant.
Le but est de démontrer l'irrationalité de e (e=2,718...)
Soit f(x) = e-x.[1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + ... + xn/n!]
définie sur [0;1] et avec n, entier naturel avec n supérieur à 1.
1) Montrer que f est dérivable sur [0;1] et que f'(x)= - xn/n! .e-x
2) Montrer que pour 0 <=f(0) - f(1) <=1/n!
3) On considère la suite (Un) définie par :
un: 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n! pour tout n >=1
Déduire que 0 <=e-un <=e/n!
4) Montrer que la suite converge et déterminer sa limite.
5)On pose pour tout n >=1 vn = un + 1/n+n!
a)Démontrer que les suites un et vn sont adjacente. Quelle est leur limite commune ?
b)En déduire que pour tout n >=1,
un <=e <=vn
6)On suppose que e . Autrement dit, il existe des entiers p et q (q 0) tels que e = p/q.
a)Justifier que : uq <=p/q <=vq
b)Démontrer qu'alors q q! uq <=p q! <=q q! up + 1
c)En déduire une contradition et conclure.


Réponses
1) je démontre que f'(x)=-x^n/(n!)*exp(-x)
2) f(1)=exp(-1)[2+1/2!+...+1/n!]
-exp(-x)/n!<=f'(x)<=0
-1/n!S((exp(-x),0,1)<=S((f'(x),0,1)<=0
et 0<=f(0)-f(1)<=1/(n!)-exp(-1)/n!<=1/n!
3) f(1)=exp(-1)*Un et d'après ci dessus: 0<=1-exp(-1)*Un<=1/n!
et finalement 0<=e-Un<=e/(n!)
4) lim 1/n!=0 et d'après le Th des gendarmes lim(e-Un)=0, donc lim Un=e
5 A mon avis, Vn=Un+1/n! sinon on obtient rien
a) U(n+1)-Un=1/((n+1)!>0, donc U croissante et majorée par e
V(n+1) Vn=2/(n+1)!-1/n!<0, donc V décroissante
lim(Vn-Un)=lim(1/n!)=0, donc Un et Vn adjacentes et limVn=e
b) U croissante de limite e, V décroissante de limite e, donc Un<=e<=Vn
6) a) On justifie que Uq<=p/q<=Vq
b) J'arrive à :qq!Uq<=pq!<=q(q!Up+1) au lieu de qq!Up+1
c) Supposons que leur inégalité est vraie qq!Uq<=pq!<=qq!Up+1
je ne vois pas la contradiction pour conclure que e est irrationnel.
Merci

[kadaid]

Bonjour
Voici un sujet que j'ai pris sur un site, je ne me rappelle plus lequel, et j'ai trouvé interessant.
Le but est de démontrer l'irrationalité de e (e=2,718...)
Soit f(x) = e-x.[1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + ... + xn/n!]
définie sur [0;1] et avec n, entier naturel avec n supérieur à 1.
1) Montrer que f est dérivable sur [0;1] et que f'(x)= - xn/n! .e-x
2) Montrer que pour 0 =1
Déduire que 0 =1 vn = un + 1/n+n!
a)Démontrer que les suites un et vn sont adjacente. Quelle est leur limite commune ?
b)En déduire que pour tout n >=1,
un 0, donc U croissante et majorée par e
V(n+1) Vn=2/(n+1)!-1/n!<0, donc V décroissante
lim(Vn-Un)=lim(1/n!)=0, donc Un et Vn adjacentes et limVn=e
b) U croissante de limite e, V décroissante de limite e, donc Un<=e<=Vn
6) a) On justifie que Uq<=p/q<=Vq
b) J'arrive à :qq!Uq<=pq!<=q(q!Up+1) au lieu de qq!Up+1
c) Supposons que leur inégalité est vraie qq!Uq<=pq!<=qq!Up+1
je ne vois pas la contradiction pour conclure que e est irrationnel.
Merci

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[Kikoo <3 Bieber]

Si, attends un peu, je lis lentement.

[Kikoo <3 Bieber]

On sait que la fonction exponentielle est dérivable sur et qu'un monôme est aussi dérivable sur . la somme de monômes est donc dérivable sur et son produit par une exponentielle aussi.
On restreint l'intervalle à .

[kadaid]

On sait que la fonction exponentielle est dérivable sur et qu'un monôme est aussi dérivable sur . la somme de monômes est donc dérivable sur et son produit par une exponentielle aussi.
On restreint l'intervalle à .

Ce sujet que j'ai pris sur le site est truffé d'erreurs. J'ai trouvé un sujet pratiquement identique dans un livre et voici les correctifs à apporter:il faut lire:
5) Vn=Un+1/n!
b) Un<e<Vn inégalité stricte
6) q! Uq < p (q-1)! < q! Vq + 1 inégalité stricte

puis q!Vq=q!Uq+1

Maintenant il faut répondre à la question 6) c