Demonstration de l'irrationnalité de la racine carré de 2

[davidtsm]

Bonjour,
J'ai un exercice à faire pour après les vacances, et je bug à la question 3, surtout parce que je ne comprend pas la logique de la question très peu explicite. Voici l'énoncé :
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On va montrer dans et exercice que sqrt(2) (dans ce forum je nommerais racine de 2 ainsi, vu que l'on a pas de symbole ...) est irrationnel, c'est-à-dire que l'on ne peut pas écrire sqrt(2) sous la forme a/b où a et b sont deux nombres entiers.Pour cela, on va effectuer une démonstration par l'absurde, càd que l'on va supposer que sqrt(2) soit rationnel et on va chercher à trouver une contradiction.
Supposons donc sqrt(2) = a/b, où a et b sont deux entiers premiers entre eux. (càd que l'on suppose la fraction a/b irréductible).
1. Montrer qua a² = 2b²
2. Montrer que la carré d'un entier impair est un entier impair. En déduite que nécessairement a est pair.
3. Ecrivons alors a = 2p où p est un entier naturel. Montrer que nécessairement b est un nombre pair
4. En déduire que sqrt(2) est rationnel.

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Donc pour l'instant voici mes réponses :
1. sqrt(2) = a/b
(sqrt(2))² = (a/b)²
2 = a/b²
a² = 2b²
2. Soit i un entier tel que i/2 ne soit pas entier (il est impair)
Soit p un entier tel que p/2 soit aussi un entier (il est pair) et tel que i = p + 1 (c'est l'entier pair inférieur le plus proche de i)

Puisque i = p + 1
i² = (p+1)²
i² = p² +1
Un multiple de 2 multiplié par un autre multiple de 2 reste un multiple de 2, donc p² est pait, donc
p² + 1 est impair donc i² est impair
=> le carré d'un entier impair est aussi un entier impair

Puisque b est un entier, b² est un entier, donc 2b² est forcément un multiple entier de 2, il est donc pait, donc a² est aussi pair. Puisque a² est pair, a ne peut pas être impair, donc a est pair.

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Maintenant je bug pour la 3, et la 4 aussi, vu qu'elle découle de la 3. Je vous remercie pour votre aide.
David
PS : Je suis en seconde générale.

[el niala]

3) c'est le même principe que 2)

a=2p => a²=4p² d'où 4p²=2b² <=> b²=2p²... et tu fais comme en 2)

4) irrationnel et non rationnel !
pense à l'hypothèse a et b premiers entre eux

[Archytas]

Pour la 3 tu as a=2p et a²=2b²
<=> (2p)²=2b²
<=> 4p²=2b²
<=> 2p²=b²

Donc b est pair

Si a et b sont premiers entre eux on ne peut pas réduire la fraction or tu sait qu'une fraction où il y a un nombre pair au numérateur et au dénominateur est simplifiable (ex: 12/14 = 6/7) donc si notre fameuse fraction s'écrit sous la forme de deux nombres pairs elle est simplifiable ce qui contredit notre première affirmation (; !
Pour ta démonstration qu'un nombre impair au carré = un nombre impair (2n+1) alors :
(2n+1)²=4n²+4n+1=2(2(n²+n))+1=2n'+1 !!


Bonne chance !