Intégrales et probabilités

[t.itou29]

Bonjour,
J'ai un peu de mal à comprendre un exemple d'un cours:

"Soit p un nombre aléatoire entre 0 et 1.
On lance n fois une pièce avec une probabilité d'obtenir pile de p.
Quel est la probabilité d'obtenir k piles ?

Si p était fixé on aurait la probabilité suivante:

Or p est généré aléatoirement, la probabilité est donc la moyenne, l'intégrale de la quantité au dessus:
"

Après ils procèdent au calcul de l'intégrale (très astucieusement) et trouve simplement 1/n+1 ! (point d'exclamation pas une factorielle...)
Donc si j'ai bien compris pour calculer la probabilité dépendant d'une variable aléatoire uniformément distribuée dans [a;b] il suffit de calculer la valeur moyenne de l'intégrale sur cet intervalle ?
Est-ce que vous auriez d'autres exemples ?

EDIT: finalement je crois avoir compris, c'est comme si on avait une fonction f(p) et pour trouver sa "moyenne" on prend la moyenne de l'intégrale ? (ce qui semble logique graphiquement)

[beagle]

euh, pourquoi il n' y a pas k dans le résultat final?

[beagle]

C'est quoi le 1/n+1 ?
parce que là il n' y a plus de k dans la formule, c'est normal?

[t.itou29]

C'est quoi le 1/n+1 ?
parce que là il n' y a plus de k dans la formule, c'est normal?

Oui c'est assez étonnant les probabilités sont égales et ne dépendent pas de k. La preuve est géniale !
1 et 2

[t.itou29]

C'est quoi le 1/n+1 ?
parce que là il n' y a plus de k dans la formule, c'est normal?

Oui c'est normal les probabilités sont égales et ne dépendent pas de k. La preuve est géniale !
1 et 2
Je sais pas comment on peut penser à ça !

[beagle]

Oui c'est normal les probabilités sont égales et ne dépendent pas de k. La preuve est géniale !
1 et 2
Je sais pas comment on peut penser à ça !

ah, ok, c'est super alors.
Je vais regarder.
Pas sur de pouvoir comprendre les explications maths par contre.

[MacManus]

Salut,

Pour apporter quelques précisions dans le développement de la démo, le bouquin fait apparaître le polynôme

qui n'est autre que .

C'est ce que l'on appelle la fonction génératrice de la variable aléatoire X suivant la loi binomiale de paramètres (n,p) (qui est définie en principe comme étant une série formelle).

Mais bon, au lycée, c'est pas encore au programme... j'ai pas fait gaffe

[beagle]

Pas regardé l'explication maths pour le moment, juste mis dessin.
Intuitivement me conviendrait que sur une série de n=5
PPPPP
soit de proba égale à
PPPPF
à
FPPPP

sauf qu'alors avoir 5 P j'ai un seul cas, mais avoir 4 P ben j'en ai 5, alors hum
j'ai du mal intuitivement

t'es sur que c'est pas K piles ordonnés?

Argh, c'est marrant en tous cas.

[beagle]

Pour le redire autrement,
n=5
Faire PPPPP
et faire PPPPF
c'est commencer par faire
PPPP de proba identique
alors ensuite je fais mon dernier pile ou face, et la proba est égale
donc PPPPP est de proba égale à PPPPF non?

et tous les 1 F 4 P sont de probas égales aussi, non?

alors j'y pige pas!

[beagle]

ouf, je faisais varier p à chaque tirage
sorry!

[beagle]

Si n=5
proba de faire PPPPP
c'est proba de PPPP puis p

proba de PPPPF,
proba de PPPP puis F

proba de PPPP = proba de PPPP

si p est aléatoire à chaque tirage
proba de dernier tirage, proba P = proba F

donc proba PPPPP = proba PPPPF

et d'ailleurs ce serait idem à la proba de
FPPPP

donc comment un seul PPPPP peut rivaliser avec les 5 1F4P?

[MacManus]

Si n=5
donc comment un seul PPPPP peut rivaliser avec les 5 1F4P?

si n=5, Il y a listes possibles. Mais chacune de ces listes a la même proba puisqu'elle ne dépend pas du nombre d'occurences k de "piles".

[beagle]

si n=5, Il y a listes possibles. Mais chacune de ces listes a la même proba puisqu'elle ne dépend pas du nombre d'occurences k de "piles".

argh, je ne comprends toujours pas.
équiproba des 32 me va
mais sur les 32
on
k=0 pile, une seule fois
k=1 seul pile, 5 fois
comment proba k=0 peut ètre égal à k=1 ????

et quid de 1/1+5 = 1/6 c'est la proba de quoi?

[MacManus]

argh, je ne comprends toujours pas.
équiproba des 32 me va
mais sur les 32
on
k=0 pile, une seule fois
k=1 seul pile, 5 fois

ça va je suis

comment proba k=0 peut ètre égal à k=1 ????

Je vais mieux y réfléchir, je sais pas bien justifier encore... dsl

et quid de 1/1+5 = 1/6 c'est la proba de quoi?

The probability of seeing k heads in 5 tosses
C'est ça qui est tout bonnement ahurissant, c'est que ça ne dépend pas de k.

[Tiruxa]

argh, je ne comprends toujours pas.
équiproba des 32 me va
mais sur les 32
on
k=0 pile, une seule fois
k=1 seul pile, 5 fois
comment proba k=0 peut ètre égal à k=1 ????

et quid de 1/1+5 = 1/6 c'est la proba de quoi?

En expérimentant avec Excel sur 1000 épreuves (n étant égal à 5) je trouve les résultats suivants

valeurs de k 0 1 2 3 4 5
occurences 166 167 187 168 153 159

Or 167/1000 est très voisin de 1/6... 187/1000 s'en éloigne un peu mais en augmentant le nombre d'épreuves on doit tendre vers 1/6 .

Je reconnais que c'est assez troublant mais c'est ainsi ...

[Tiruxa]

En poussant à 10000 épreuves
0 1 2 3 4 5
1694 1627 1676 1695 1655 1653

On se rapproche en effet de 1/6

[t.itou29]

En expérimentant avec Excel sur 1000 épreuves (n étant égal à 5) je trouve les résultats suivants

valeurs de k 0 1 2 3 4 5
occurences 166 167 187 168 153 159

Or 167/1000 est très voisin de 1/6... 187/1000 s'en éloigne un peu mais en augmentant le nombre d'épreuves on doit tendre vers 1/6 .

Je reconnais que c'est assez troublant mais c'est ainsi ...

C'est vrai que c'est troublant...
Dans le deuxième de lien que j'ai mis ils commençaient à expliquer le pourquoi mais j'ai pas complètement saisi, voici la suite en résumé:
"Le nombre de piles dépend uniquement du rang relatif de A2 parmi les 5 nombres aléatoire. Mais comme ces nombres sont uniformément distribués le rang d'un nombre l'est aussi, c'est à dire qu'il y a autant de chance que A2 soit le plus grand, le 4eme plus grand, etc... La probabilité de chaque issue est donc la même, i.e 1/5."

[t.itou29]

Salut,

Pour apporter quelques précisions dans le développement de la démo, le bouquin fait apparaître le polynôme

qui n'est autre que .

C'est ce que l'on appelle la fonction génératrice de la variable aléatoire X suivant la loi binomiale de paramètres (n,p) (qui est définie en principe comme étant une série formelle).

Mais bon, au lycée, c'est pas encore au programme... j'ai pas fait gaffe

Oui j'avais vu dans le même livre l'introduction aux fonctions génératrices, c'est vraiment pratique pour certains problèmes de combinatoire ou trouver le terme général d'une suite.

[beagle]

En expérimentant avec Excel sur 1000 épreuves (n étant égal à 5) je trouve les résultats suivants

valeurs de k 0 1 2 3 4 5
occurences 166 167 187 168 153 159

Or 167/1000 est très voisin de 1/6... 187/1000 s'en éloigne un peu mais en augmentant le nombre d'épreuves on doit tendre vers 1/6 .

Je reconnais que c'est assez troublant mais c'est ainsi ...

donc tu as
166 fois FFFFF qui est zéro fois P
et tu as
167/5 environ FFFFP qui est une fois le P en dernière position.
c'est cela?

tu as combien de
PFFFF
FPFFF
FFPFF
FFFPF
FFFFP
qui sont le k=1 c'est cela? et sont sortis les 5 ensembles 167 fois , c'est cela?

[t.itou29]

Voici la dernière page en entier 3

Finalement je crois que j'ai compris en relisant la page !
Il y autant de chances que A2 soit 1er,2nd,... et donc les issues correspondantes (0,1,2,3,4 piles) sont equiprobables