Intégrale, besoin d'aide

[manue]

Ne comprenant pas tout au intégrales et n'ayant rien compris à cet exercice je ne sais pas du tout comment y répondre merci de bien vouloir m'aider.

Pour n ;) N, on pose In = ;)(de 0 à 1) (e(nx))/(1+ex) dx

1)a) Calculer I1 puis I0 + I1, en déduire I0
b) Pour tout n de N, calculer In + In+1

2)Prouver que pour tout x de [0 ;1], on a ;)(nx) / (;)+1) ;) ;)(nx) / ;)x +1 ;) ;)(nx) / 2
En déduire un encadrement de In

3)En déduire les limites des suites (In) et (In / ;)n)

[Sdec25]

Voilà un début :
a)
Pour I1 : exp(x) / (1+exp(x)) est de la forme u'/u, qui s'intègre en ln(u)

Pour calculer I0+I1 :
1/(1+ex) + ex/(1+ex) = 1

b)
In + I(n+1) :
(exp(nx) + exp(nx+x)) / (1+ex) = exp(nx) * (1+ex) / (1+ex) = ...

[rifly01]

Salut,

[manue]

merci pour ces deux réponses, je pense avoir compris néanmoins je ne vois pas comment prouver que e(nx)/ex+1 est encadré par e(nx)/(ex+1) et par e(nx)/2 ni comment cela peut nous donnerun encadrements de In comme In est une intégrale. Pour la question 3 est ce qu'il faut utiliser les théorème des gendarmes ?

[Sdec25]

Pour la 2 :
pour x de [0; 1] on a : 2 ;) e^x + 1 ;) e + 1
Il suffit d'inverser les termes de cette inégalité et de les multiplier par e^(nx) qui est un nombre positif.

Si e^(nx) / (1+e^x) est encadré par 2 fonctions positives, l'intégrale est aussi encadrée (logique).

Qu'est-ce que tu as trouvé pour l'intégrale In ?

[manue]

En fait je suppose que In est encadré par ;)(de 0 à 1) (e(nx))/(1+e) et par ;)(de 0 à 1) (e(nx))/2 mais je ne suis pas sure ce n'est que des suppositions. ensuite pour la question 3, est ce qu'il faut utiliser le théorème des gendarmes en calculant les limites de ;)(de 0 à 1) (e(nx))/(1+e) et de ;)(de 0 à 1) (e(nx))/2

[Sdec25]

D'après ce que j'ai dit dans mon post précédent, l'intégrale est bien comprise entre les 2 autres.
C'est comme si tu fais une somme d'éléments encadrés, la somme sera comprise entre les sommes des minorants et des majorants.

Si les intégrales minorante et majorantes ont la même limite, il est judicieux d'utiliser le théorème des gendarmes.