Inégalité rapide

par **Timothé Lefebvre** » 21 Oct 2009, 20:36

Bonsoir tout le monde

Rapidement, avant d'aller se coucher, une petite inégalité triangulaire !

Les longueurs a, b et c sont celles d'un triangle.
Mq :

Combien de méthodes différentes ?

Bonne réflexion !

Tim

par **Ericovitchi** » 21 Oct 2009, 20:53

Ha oui ça me revient, moi je connaissais ça en posant p le demi-périmètre de ce triangle et x = p - a , y = p - b , z = p - c
D'où a = y + z , b = x + z , c = x + y , avec x , y , z > 0
A = a²b(a-b) + b²c(b-c) + c²a(c-a) s'écrit xy3 + yz3 - xzy2 - xyz2 - yzx2
En divisant par xyz, A est positif que si x+y+z<= z²/x+x²/y+y²/z

que l'on démontre en écrivant Cauchy-Schwartz

avec les triplets (

,

) et (

,

)

par **Zweig** » 22 Oct 2009, 11:30

Salut,

L'inégalité étant homogène, on peut trouver des réels positifs

,

et

tels que l'inégalité se réécrive :

Après réflexions (et tâtonnements), on montre que le membre de gauche de l'inégalité de départ est équivalent à :

On conclut avec l'inégalité triangulaire.

par **Timothé Lefebvre** » 22 Oct 2009, 15:05

Salut les gars,

jolies démos !

La mienne utilise une transformation de Ravi (quelque chose qui s'utilise pas mal en OIM).

On pose classiquement le système :

où x, y et z sont des réels positifs (longueurs).

On a alors :

On distingue deux cas que l'on traite :

1) Si

2) Si

Dans les deux cas on a égalité si le triangle est équilatéral.

par **oscar** » 22 Oct 2009, 15:49

Bonjour

On divise les deux membre par abc # 0
=> a ( a-b ) + b ( b- c) + c ( c-a) >= 0
=>( a² +b² +c² ) - ( ab + bc+ca) >=0
=> (a + b+c)² - 3 ( ab + bc + ca) >=0 A vérifier par la géométrie?
( figure sans doute)

par **Zweig** » 22 Oct 2009, 15:56

Oui Oscar, on démontre plus généralement cette double inégalité avec toujours

,

et

les côtés d'un triangle :

par **Zweig** » 22 Oct 2009, 15:58

La tienne peut se faire algébriquement :

par **Zweig** » 22 Oct 2009, 16:00

Je viens de capter quelque chose ... On vient de voir que ton inégalité est vraie quelque soit les réels

,

et

, en fait .... Donc l'inégalité serait vraie pour n'importe quels réels

,

et

? Hum, bizarre !

par **oscar** » 22 Oct 2009, 16:02

Où puis-je trouver la démonstration?

par **Zweig** » 22 Oct 2009, 16:11

Je l'avais postée il y'a quelques temps ...

par **Timothé Lefebvre** » 22 Oct 2009, 16:51

Une idée : si on pose

et

(c'est possible sans tuer l'énoncé non ?) alors on a plus qu'à résoudre :

Qu'en pensez-vous ?

par **Timothé Lefebvre** » 23 Oct 2009, 16:20

Salut,

une autre solution : en utilisant l'inégalité du réordonnement.

Il suffit de montrer que

.
En fait, en considérant l'inégalité du réodronnement, on peut transformer cette inégalité (que j'avais écrite dans mon premier post) en :

Les conditions sur x, y et z sont les mêmes que précédemment.

par **benekire2** » 24 Oct 2009, 09:58

Bonjour,

En effet comme le souligne Tim, les transformations de ravi s'utilisent beaucoup en OIM, j'ajouterais que tout ce qui touche à la géométrie, du style barycentres, etc et souvent utilisé en OIM parce que il ne faut pas oublier qu'au lycée, la majorité des pays dans le monde ne voient pas grand chose sur le plan géométrique. Et c'est donc ça qui créé la difficulté.

PS: La France est l'un des rares pays à avoir conservé de la géométrie au lycée , plus pour très longtemps malheureusement...

par **Timothé Lefebvre** » 24 Oct 2009, 10:07

Salut,

hum non, les barycentres ne sont pas vraiment très présents en OIM ! C'est même assez dur de trouver des sujets OIM faisant appel à ça ...

Soit on rencontre des problèmes de géométrie pure, soit on rencontre, comme ici, des inégalités dites géométriques qui mettent en jeu les côtés d'un triangle par exemple.

Il existe plusieurs méthodes en OIM pour se débarrasser des conditions d'une variable, et dans le cas où les variables sont les longueurs d'un triangle (comme ici) la transformation de Ravi est un bon moyen à connaître. Dans les autres cas on peut avoir des produits ou des sommes de variables constants ou des polynômes symétriques (j'ai posé un exo à ce propos il y a peu).

par **benekire2** » 24 Oct 2009, 10:10

Je suis d'accord,
j'ai cependant trouver des OIM faisant appel plus ou moins aux barycentres. ( d'accord, pas beaucoup :) )

par **Timothé Lefebvre** » 24 Oct 2009, 10:12

Des OIM ? Vraiment ?!
Ce ne sont pas plutôt des Olympiades Française (académiques) ? C'est dans ce genre d'Olympiades qu'on en retrouve.

par **benekire2** » 24 Oct 2009, 10:16

Ah, effectivement, je dois confondre, ça doit pas être le même niveau ...

par **Timothé Lefebvre** » 24 Oct 2009, 10:17

OIM = Olympiades Internationales de Mathématiques.

C'est un poil plus dur que les Olympiades Académiques que tu peux passer en Première ;) Par exemple l'exo de ce topic est issu d'une OIM je crois.

par **benekire2** » 24 Oct 2009, 10:30

J'imagine bien , les mecs qui y participent doivent être:
1) Passionné de math et forts
2) Coaché par des profs de manière à ce qu'il soient sur-entraîné...

par **Timothé Lefebvre** » 24 Oct 2009, 10:34

Le coaching de la sélection française est effectivement assuré par Animath ;)

Je suis en train de chercher dans mes petits cahiers un problème intéressant à poster : tu as une préférence ?

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