zancan1337 a écrit:Bonjour, premier post sur ce forum
Je suis élève en 2nde et m'ennuyant un peu en cours, ma prof me donne des "prob" à bosser quand j'ai un peu de temps, pas noté mais elle "regarde car ça l'intéresse" :p
Voilà la partie de l'énoncé qui m'embête un peu (et que la prof connait pas ^^)
3²+4²=5² ; 10²+11²+12²=13²+14² ; etc
On voit qu'à chaque fois on à un terme de plus à droite et que les nombres sont des entiers qui se "suivent".
Je dois "prolonger, généraliser puis démontrer".
Pour ce je démontre d'abord pour n²+(n+1)²=(n+2)² :
n²+(n+1)²=(n+2)² n²+n²+2n+1-n²-4n-4=0
n²-2n-3=0
;)=(-2)²-4(-3)=4+12=4²
n=[2+;);)]/2=3
Ou n=[2-;);)]/2=-1
J'ai donc n²+(n+1)²=(n+2)² si et seulement si n=3 ou n=-1 soit : 3²+4²=5² et (-1)²+0²=1².
Ensuite pour n²+(n+1)²+(n+2)²=(n+3)²+(n+4)² :
Même méthode (que je ne détaille pas) et même constat, 2 solutions : n=-2 ou n=10.
J'ai donc n²+(n+1)²+(n+2)²=(n+3)²+(n+4)² si et seulement si n=-2 ou n=10 soit : (-2)²+(-1)²+0²=1²+2².
Je me dis que y'aura toujours 2 solutions si on étend, mais je vais pas le faire toute ma vie...
Donc 2 questions :
-Comment exprimer le problème sans dire "2 termes = 1" ou "3 termes = 2" mais avec qqc comme n²+(n+1)²+...+(n+x)²=(n+x+1)²+...+(n+y)² où n;x;y;);) et n+1<x<y (C'est juste ?? =D) ?
-Comment "généraliser", étant donné que c'est pasn;);) et que je n'ai que 2 solutions à chaque fois, afin de démontrer ??
Merci beaucoup
Il y a une astuce,
quand il y a 3 nombre consécutifs
0+1+2=3
donc 3²+4²=5
quand il y en à 5
0+1+2+3+4=10
donc 10²+11²+12²=13²+14²
quand il y en à 7
0+1+2+3+4+5+6=21
donc 21²+22²+23²+24²=25²+26²+27²
Et ainsi de suite