Fraction irréductible

[kabakas]

bonjour

sachant que : (n+2)∧(n+3)=1
montrer que la fraction : (2n+3)/(n^2+3n+2) est irréductible.


merci de votre aide

[aviateur]

Bjr en bas cela fait n plus 2 fois n plus 1
Et chacun des facteurs est premiers avec le numérateur par bezout

[kabakas]

merci de votre réponse
mais le problème qu'on a pas encore vu ce bezout

[nodgim]

On a (2n+3) / (n²+3n+2) = 1 / (n+1) + 1 / (n+2)

qui est évidemment irréductible, mais honnêtement je ne vois pas le rapport avec la donnée fournie....

[aviateur]

Rebonjour
Hier j'avais pas d'ordi pour faire des remarques précises.
Bon d'abord le "sachant que pgcd((n+2),(n+3)=1)" j'aurai aimé que que l'on précise pour quels entiers n.
Que se passe-t-il pour n=-2,n=-3?
De même pour l'exercice pour n=-1,n=-2?

Je répondrai donc par la question en dehors de tous les cas pathologiques.

Moralement l'énoncé commençant par la remarque "sachant que pgcd((n+2),(n+3)=1)"pgcd((n+2),(n+3)=1)"
(pour tout ou ) ça veut simplement dire que 2 entiers consécutifs tous deux différents de 0 sont premiers entre eux).


Maintenant tu a


Faisons un raisonnement par l'absurde:
Si la fraction u n'est pas irréductible alors n+1 ou ou (non exclusif) n+2 n'est pas premieir avec 2n+3.

1. supposons d'abord que n+1 n'est pas premier avec 2n+3. Mais alors 2(n+1)=2n+2 n'est pas premier avec 2n+3 et c'est contradictoire avec la remarque car 2n+2 et 2n+3 sont consécutifs.
2. deuxième cas analogue (à finir)

[Ben314]

Salut,
Perso, le seul truc qui me vient à l'esprit pour utiliser "à peu prés" l'indication, c'est déjà de la voir plutôt sous la forme (qui est bien la même chose que celle de l'énoncé, modulo de dire qu'il y a un "quelque soit l'entier n" de sous entendu devant)
Ensuite, et, si la fraction était simplifiable, ça signifierais qu'il existe un nombre premier qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur.
Or pour que le nombre premier apparaisse dans la décomposition en facteur premier du dénominateur, il faut qu'il soit déjà présent dans la décomposition en facteur premier d'un des deux termes , donc que divise au moins un des deux termes. Et si divise le numérateur, c'est qu'il divise la somme de ces mêmes deux termes. Et vu qu'il divise l'un des deux, ça signifie qu'il divise aussi l'autre (vu que cet autre terme est égal à la somme des deux termes moins le premier terme) donc en fait divise les deux termes.
Sauf que c'est impossible vu que les deux termes en question sont premiers entre eux.

P.S. : pas vu le message d'aviateur lorsque j'ai tapé le mien...

[nodgim]

Je l'ai bien compris comme ça, mais faut tout de même avouer que c'est bien tordu comme énoncé.....

[aviateur]

Bonjour
Effectivement c'est tordu. Je me suis toujours méfié des indications. En effet l'indication peut correspondre à un cheminement de l'esprit de celui qui pose l'exercice. L'indication invite alors celui qui fait l'exercice à suivre une voie et le détourne de toute autre démarche qui peut s'avérer meilleure ou tout au moins personnelle.

Ici cette indication à quoi elle sert? Qu'est ce qui s'est passé par la tête de l'auteur? En fait on s'en fout.
A mon avis elle est contreproductive.
Naturellement sans l'indication que va faire l'élève lambda: il factorise le dénominateur, il réfléchit et voit qu'il faut montrer que 2n+3 et n+1 sont premiers entre eux. Et puis, de même 2n+3 et n+2 sont premiers entre eux.
A ce stade s'il a des difficultés, l'indication telle quelle est donnée est plutôt perturbante qu'autre chose.

Il y a deux possibilités pour poser l'exercice

Possibilité 1. On pose la question sans indication.

Possibilité 2. On donne une indication sous forme de question intermédiaire du genre.

a) Montrer que deux entiers non nuls et consécutifs sont premiers entre eux.

Maintenant il se peut que l'auteur s'adresse à une classe d'un bon niveau et s'amuse à perturber ses élèves
et à développer leur esprit critique.