Fraction irréductible

[antoinedautry]

Bonjour !
Déterminer les valeurs du naturel n pour lesquels la fraction est irréductible.
PS: Bien que je sache qu'une fraction est irréductible si PGCD(numérateur;dénominateur)=1. Mais ici je ne trouve pas que c'est égal à 1 =S

[messinmaisoui]

Bonjour !
Déterminer les valeurs du naturel n pour lesquels la fraction est irréductible.
PS: Bien que je sache qu'une fraction est irréductible si PGCD(numérateur;dénominateur)=1. Mais ici je ne trouve pas que c'est égal à 1 =S

Hello Antoinedautry

Par intuition
J'aurais tendance à mettre sous
cette forme
là on voit que pour 5, 12 ... il se passe des choses

[antoinedautry]

Merci :)
J'ai essayé de faire le PGCD de 7 et de n+2 mais je tourne en rond :marteau:

[messinmaisoui]

Merci
J'ai essayé de faire le PGCD de 7 et de n+2 mais je tourne en rond :marteau:

si n+2 = 7 * A avec A appartenant à N alors la fraction ne semble pas irreductible
ex :
A = 1 => n= 5
A = 2 => n= 12
...
Là je ne peux t'en dire plus ...

[antoinedautry]

Ok donc si alors la fraction est irréductible ?

[messinmaisoui]

Ok donc si alors la fraction est irréductible ?

Je dirais que si alors la fraction n'est PAS irreductible

[antoinedautry]

Euh ...
Pourquoi -2 :triste:

[messinmaisoui]

Euh ...
Pourquoi -2 :triste:

Un problème de ma part avec cette notation :hein:
Avec ta notation 2 modulo 7, je ne retrouve pas les valeurs 5, 12 ...
c'est moi qui déconne ?

[antoinedautry]

Ca reviens a ? Non ? Si oui je suis d'accord

[messinmaisoui]

Ca reviens a ? Non ? Si oui je suis d'accord

Ok Adjugé vendu ! :lol3:

[antoinedautry]

Donc on est d'accord. Si alors la fraction n'est pas réductible. Moi dans mon tableau je pensais que c'était modulo 6 :briques:

[antoinedautry]

Pourquoi c'est modulo 7 ?

[antoinedautry]

stp messinmaisoui

[Pixis]

Parce que tu as ça :

Donc tu cherches les n tels que n+2 serait un multiple de 7
Par exemple, si n+2 = 14 (donc n=12) alors 7/14 n'est pas irreductible

n+2 est un multiple de 7 veut dire qu'il existe k entier relatif tel que

n+2=7k donc n=7k-2
Donc tu cherches les n tels que
n -2 [7]
ce qui est équivalent à n 5 [7]

[antoinedautry]

A ok merci beaucoup !

[nodjim]

Si la fraction est réductible alors il y a un facteur commun.
n+9=kp et n+2=jp
kp-9=jp-2
p(k-j)=7
p ne peut être 1, et 7 est premier, donc p=7 et k-j=1
n+9=7k
n+2=7(k-1)
et la fraction réduite s'écrit k/(k-1).
Donc pour tout n=7k-9 si k>=2 la fraction est réductible.
Exemple avec k=3
n+9=21
n+2=14
qui se réduit à 3/2.

[messinmaisoui]

Si la fraction est réductible alors il y a un facteur commun.
n+9=kp et n+2=jp
kp-9=jp-2
p(k-j)=7
p ne peut être 1, et 7 est premier, donc p=7 et k-j=1
n+9=7k
n+2=7(k-1)
et la fraction réduite s'écrit k/(k-1).
Donc pour tout n=7k-9 si k>=2 la fraction est réductible.
Exemple avec k=3
n+9=21
n+2=14
qui se réduit à 3/2.

ça me parait béton ça comme démonstration :++:

[Pixis]

ça me parait béton ça comme démonstration :++:

Mmh .. Oui, mais ton idée est bien plus simple à utiliser, la démonstration est deux fois moins longue et beaucoup plus claire, d'après moi

[messinmaisoui]

Mmh .. Oui, mais ton idée est bien plus simple à utiliser, la démonstration est deux fois moins longue et beaucoup plus claire, d'après moi

Hello Pixis
Par contre je lui trouve un défaut

ex : pour n = 5 + 2 * 7 = 12
on a (n-9) / (n-2) = 1 + 7 /14 = 1 + 1/2
donc on sait que 7/(n-2) va pouvoir se simplifier en a/b (ex:1/2)
pour les valeurs de n = 5 +7k avec k entier

mais il faudrait aussi prouver que dans ce cas la somme de 1 + a/b est systématiquement irréductible
ex : est-ce que 1 + a/b ne va pas nous donner un 3/6
[EDIT] normalement non mais il faudrait le prouver ...
par exemple enfin je suis peut-être en train de chercher la "ptite bête" :doh:

[Pixis]

Bon, on a
La fraction est réductible, si et seulement si n+2=kp et (n+2)+7=kp+7=kp'
La fraction est réductible, si et seulement si n+2=kp et 7=k(p'-p)
La fraction est réductible, si et seulement si est réductible

Or cette fraction est réductible si et seulement si n+2 est un multiple de 7, puisque 7 est un nombre premier, i.e n+2;)0[7] i.e n;)5[7]

La fraction est donc irréductible pour tout n de IN non congru à 5 modulo 7