Formule de Gibbs

[Phymathi]

Bonsoir à tous,
Je voulais démontrer la formule de Gibbs :

Sachant que dans mon cours cette formule est donné avant le théorème de l'expression analytique du produit vectoriel, et donc, la démonstration (je suppose) doit être faite à partir de la définition du produit vectoriel..
Or je ne trouve pas de moyens de démontrer ça, sans avoir recours à l'expression analytique.. Est-il faisable de le faire ?
Merci à tous.

[WillyCagnes]

Bsr
Remplace le + par ^ dans ta formule
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Gibbs
La démo
http://uel.unisciel.fr/physique/outils_ ... er_04.html

[Phymathi]

Bsr
Remplace le + par ^ dans ta formule
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Gibbs

C'est fait, je m'excuse.

[zygomatique]

salut

ouais enfin la démo d'uniciel par du résultat pour démontrer le résultat !!!

posons

alors par définition du produit vectoriel x est orthogonal à v et w et donc est orthogonal à u et x donc appartient au plan engendré par v et w

donc

mais après il est difficile de déterminer a et b



sans passer par des coordonnées dans une base .... (je ne mets plus les flèche pour aller plus vite) mais en construisant une "base relative" au vecteur v)

considérons dans le plan P = vect (v, w) l'orthogonal direct v' de v avec ||v'|| = 1 alors il existe des réels a et b tels que w = av + bv'

et considérons v" = v ^ v' donc (v, v', v") est une base directe alors

v ^ w = v ^ (av + bv') = bv"

or il existe des réels x, y et z tels que u = xv + yv' + zv"

donc u ^ (v ^ w) = (xv + yv' + zv") ^ bv" = xbv ^ v" + ybv' ^ v" = -xbv' + ybv' ^ v" - xbv" ^ v

or (u.w)v - (u.v)w = [(xv + yv' + zv").(av + bv')]v - [(xv + yv' + zv").v](av + bv') = (axv.v + yb)v - (axv.v + yb)(av + bv') = ...

bon je m'emmerde avec des pb de normes !!!

je considère un vecteurs v' colinéaires à v de norme 1 puis dans le plan (v, w) l'orthogonal direct (de norme 1) v" de v' et v"' = v' ^ v" de sorte que (v', v", v"') est orthonormée directe

je pose

v = av'
w = bv' + cv"
u = xv' + uv" + zv"'

v^w = (av')^(bv' + cv") = acv'^v" = acv"'

u^(v^w) = (xv' + yv" + zv"')^(acv"') = -acxv" + acyv'

or (u.w)v - (u.v)w = [(xv' + yv" + zv"').(bv' + cv")]v - [(xv' + yv" + zv"').(av')]w = (xb + yc)av' - (ax)(bv' + cv") = acyv' - acxv"


d'où l'égalité demandée ....

[pascal16]

La formule de Gibbs, c'est pas "En route Di Nozzo" ?