Formule de Cardan

[so213]

Jérôme Cardan a fourni , dans son ouvrage Ars Magna, une formule pour déterminer une solution X de l'équation X^3 + pX +q=0 dans le cas où 4p^3+27q^2 ≥ 0 :



I) Un cas où 4p^3 + 27q^2 ≤0

On considère l'équation:
X^3 -15X -4=0
1) Peut-on, a priori, appliquer la formule de Cardan à cette équation ? Pourquoi ?
2) Conjecturer graphiquement le nombre de solutions de X^3 -15X -4=0 ? Expliquer votre démarche.
3) Montrer que (p^3/27) + (q^2/4) = (11i)^2 ? En déduire que la formule de cardan, étendue aux nombres complexes, donne la solution :
X= (2+11i)^(1/3) + (2-11i)^(1/3)
4) Montrer que (2+i)^3=2+11i et (2-i)^3=2-11i ? En déduire que la solution précédente se simplifie en :
X=4

5) Montrer que X^3 -15X -4= (X-4)(X^2+4X+1) En déduire les solutions de l'équation
X^3 -15X -4=0


Je bloque juste pour la 1) merci de bien vouloir m'aider !

[Lostounet]

Que vaut p et que vaut q dans ton équation?
Que vaut 4p^3+27q^2 ? Et donc est-ce que ça remplit la condition?

[so213]

Super merci j'ai trouvé !