Fonctions & symptotes

[Anonyme]

salut je n'arrive pas a faire cet exercice, aidez moi svp :

Soit f la fonction définie sur ]2; +;)[ par f(x) = 1/2x + 3/4 - 1/(x-2)
On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O; i, j)

1- Étudier à l’aide de fonctions élémentaires les variations de f.

2-Pourquoi peut-on dire que la droite (;)) d’équation y = 1/2x + 3/4 est une asymptote de (C) en +;) ?
Montrer que(C) admet une autre asymptote (;);)) dont on donnera une équation.

3- Calculer les coordonnées du point d’intersection de (C) avec l’axe des abscisses et déterminer une équation de la tangente (T) à (C) en ce point.

4- Tracer (;)), (;);)),T et C.

merci d'avance..

[Nightmare]

Bonjour

Qu'est-ce que tu n'arrives pas à faire ?

[Anonyme]

je n'arrive pas à trouver les fonctions élémentaires de cette fonction...

[Nightmare]

eh bien tu vois que f est la somme des fonctions x->1/2x ; x->3/4 et x->-1/(x-2)

On montre sans mal que ces trois fonctions sont croissante. Donc finalement leur somme (ie) f est croissante ou décroissante ?

[Anonyme]

croissante bien sur

[Nightmare]

Voila :lol3:

[lomdefer]

f(x)=1/2x+3/4-1/x-2

1)
f'(x)=1/2+1/(x-2)^2
On étudie le signe de f'(x) :
1/2>0
1>0
(x-2)^2 >0 car un carré est toujours positif donc f'(x) >0 sur R alors f(x) est croissante sur ]2;+ l'infini[.

2)
théorème : Soit une fonction f(x) = ax+b +g(x)
Si la limite de g(x) quand x tend vers l'infini est égale à 0 alors la droite d'équation ax+b est asymptote oblique à la courbe.

Ici ax+b = 1/2x + 3/4 et g(x)^= 1/x-2 lim(quand x tend vers l'infini ) de 1/x-2 = 0 donc la droite du'équation 1/2x + 3/4 est asymptote oblique à la courbe.

Théorème :
Soit une fonction f(x) si lim(quand x--->a) f(x) = l'infini alors il éxiste une asymptote verticale d'équation x = a.

lim f(x) (quand x --->2) = 1/2 * 2 + 3/4 -l'infini = -l'infini
On a donc une asymptote d'équation x= 2

3)
l'axe des abscisses a pour équation y =0.
Il y aura intersection quand les deux fonction seront égale donc posons l'égalité suivante :

y=f(x)
(1/2)x+3/4-1/(x-2) = 0
transformons f(x) :
f(x) = 2(x-2)x+3(x-2)-4/(4(x-2)) j'ai tout mis sous le même dénominateur
f(x) = 2x^2-x-10/(4(x-2))

f(x) sera égale à 0 si 2x^2-x-10 = 0 avec x différent de 2

Delta = (-1)^2-4*2*-10 = 81
x1=1+9/4=10/4=2.5
x2=1-9/4=-2
Voila tes deux racines pour lesquelles f(x) = 0 donc f(x) sera en intersection avec la droite des abscisses aux point A(0;2.5) vu que l'on est sur l'intervalle ]2; + l'infini[ on ne tien pas compte de x1.

équation de tangente : Y = f'(a)*(x-a) + f(a)

tu connais f'(x) tu remplace x par 2.5 :
f'(2.5) =1/2+1/(2.5-2)^2 = 4.5
f(2.5)=0
Y=4.5(x-2.5)

Ton équation de tangente est donc égale à : Y = 4.5(x-2.5)

Voila a++