Fonctions polynomiales

[Linecé]

Bonjour à tous !

Je passe un concours dans qques jours sur le programme de terminale S.

J'ai oublié pas mal de mécanismes et lors de mes révisions je bute sur un exercice :

Soit P la fonction polynômiale de la variable réelle x définie par :
x4 - 2x3 - 16x2 + 2x + 15
1. Montrer que P(x) est factorisable par (x-1)(x+1).
2. Déterminer a, b, c tels que P(x) = (x2-1) (ax2+bx+c).
3. Tracer la courbe y=P(x) dans un repère orthonormé.
4. En déduire le tableau de variations de la fonction f définie par
f(x) = 6x5 - 15x4 - 160x3 + 30x2 + 450x +1
5. Déterminer le nombre de solutions f(x)=y0 en fonction de y0.


J'ai réussi à répondre à la question 2., de laquelle j'ai déduis la réponse à la question 1., mais j'aurais aimé savoir comment j'aurais pu répondre à la première directement.

Ensuite, je ne vois pas comment déduire de la question 3. la réponse à la question 4., je bloque là, je ne trouves pas le lien...

Si qqun pouvait me donner qques indications ce serait super !

Merci d'avance

[st00pid_n00b]

Bonjour,

Pour répondre à la 1. directement: un polynôme est factorisable par (x - a) si est seulement si a est une racine du polynôme, c'est à dire P(a) = 0.

Pour la 4. as tu calculé la dérivée de f(x) ?

[Linecé]

Merci beaucoup, c'est une propriété que j'avais oubliée...

Pour la dérivée merci pour l'astuce, je n'y avais pas pensé non plus.
Du coup il suffit de dire que comme les fonctions sont proportionnelles (?) leurs variations sont les mêmes ?

Et pour la question 5. je ne vois pas vraiment quels cas distinguer...
x=0, x<0 et x>0 ?

[st00pid_n00b]

Factorise par 30: f'(x) = 30*P(x)
Comme 30 est positif, f' est du signe de P. (Quand tu dis "proportionnelles", le facteur de proportionnalité pourrait être négatif, et ça changerait le signe.)

Pour la 5 il faut déjà faire le tableau de variations avec les valeurs des maximums et minimums. La question revient à donner le nombre d'antécédents à y0 selon sa valeur.

[Linecé]

Ah ben oui exact...

Super, merci bcp pour ton aide précieuse !