Fonctions & Géométrie

[Ang3lina]

Salut à tous,

J'ai énormément de mal pour répondre à 3 malheureuses questions d'un exercice où il faut utiliser les fonctions. Je pense être bloquée par le côté 'géométrie'. Pourriez-vous me mettre sur la voie pour la première question, svp ?

Voici l'énoncé : http://img15.hostingpics.net/pics/714061Mathsexercice.png

Merciii

Angelina

[Sake]

Salut à tous,

J'ai énormément de mal pour répondre à 3 malheureuses questions d'un exercice où il faut utiliser les fonctions. Je pense être bloquée par le côté 'géométrie'. Pourriez-vous me mettre sur la voie pour la première question, svp ?

Voici l'énoncé : http://img15.hostingpics.net/pics/714061Mathsexercice.png

Merciii

Angelina

Salut,

L'aire A est manifestement la somme de deux aires. Quelles sont-elles ?

[Ang3lina]

le petit carré = x²
le grand carré = (10-x)²
Somme des deux : x² + (10-x)²

Je peux donc mettre : A(x) = x² + (10-x)² ?

[Sake]

le petit carré = x²
le grand carré = (10-x)²
Somme des deux : x² + (10-x)²

Je peux donc mettre : A(x) = x² + (10-x)² ?

Attention, quelle est la mesure d'un côté du grand carré ?

[Ang3lina]

Attention, quelle est la mesure d'un côté du grand carré ?

AB-AM, moins de 10

[Sake]

AB-AM, moins de 10

Autant pour moi !!!! Ce que tu as fait est juste, j'avais mal lu.

le petit carré = x²
le grand carré = (10-x)²
Somme des deux : x² + (10-x)²

Je peux donc mettre : A(x) = x² + (10-x)² ?

C'est bien, du coup

[Sake]

le petit carré = x²
le grand carré = (10-x)²
Somme des deux : x² + (10-x)²

Je peux donc mettre : A(x) = x² + (10-x)² ?

C'est bien, du coup

[Ang3lina]

Autant pour moi !!!! Ce que tu as fait est juste, j'avais mal lu.

C'est bien, du coup

Du coup je peux mettre ça ? A(x) = x² + (10-x)²

ça me parait simple^^

[Sake]

Oui oui, bien sûr. Reste à montrer que ça, ça vaut 2(x-5)² + 50

[Ang3lina]

Oui oui, bien sûr. Reste à montrer que ça, ça vaut 2(x-5)² + 50

Voilà :
2. 2(x-5)²+50
=2 (x²-10x+5²) +50
= 2x²-20x+50+50
= 2x²-20x+100

A(x) = x²+(10-x)²
=x²+(10²-20x+x²)
=2x²-20x+100


Donc A(x) = 2(x-5)² + 50

Et pour 3. comment trouver l'aire minimale avec cette formule ?

[Sake]

Voilà :
2. 2(x-5)²+50
=2 (x²-10x+5²) +50
= 2x²-20x+50+50
= 2x²-20x+100

A(x) = x²+(10-x)²
=x²+(10²-20x+x²)
=2x²-20x+100


Donc A(x) = 2(x-5)² + 50

Et pour 3. comment trouver l'aire minimale avec cette formule ?

Très bien.

Si tu es en première, tu peux normalement dériver cette expression et en déduire son minimum. Sinon, on ruse et on remarque qu'en retranchant 50 à l'expression de A, on obtient une fonction du second degré qui s'annule en deux points. Or tu sais que la parabole a une forme symétrique autour de son sommet (maximum ou minimum de la fonction, en fonction du signe du coefficient de plus haut degré).

[Ang3lina]

Très bien.

Si tu es en première, tu peux normalement dériver cette expression et en déduire son minimum. Sinon, on ruse et on remarque qu'en retranchant 50 à l'expression de A, on obtient une fonction du second degré qui s'annule en deux points. Or tu sais que la parabole a une forme symétrique autour de son sommet (maximum ou minimum de la fonction, en fonction du signe du coefficient de plus haut degré).

Je n'ai pas encore appris comment dériver ^^
Comment ça, s'annule en deux points ?

[Sake]

Je n'ai pas encore appris comment dériver ^^
Comment ça, s'annule en deux points ?

Ca s'annule en deux abscisses. Lesquelles, si tu as suivi ce que j'ai dit ?

[Ang3lina]

Ca s'annule en deux abscisses. Lesquelles, si tu as suivi ce que j'ai dit ?

Non non, je n'ai rien compris ^^ je rentre la fonction dans la calculatrice sinon

Edit : d'après la calculatrice, c'est pour x=5 mais comment le prouver ?

[capitaine nuggets]

A(x) = 2(x-5)² + 50
Un carré d'un nombre est toujours supérieur ou égal à 0 donc le minimum de tout carré d'un nombre est 0. Or il n'y a qu'un nombre dont le carré donne 0 et il s'agit de 0 (tu peux t'en convaincre en traçant la courbe d'équation y=x²).
Par conséquent, le minimum de A(x) est atteint lorsque (x-5)²=0 :+++:

[Sake]

Non non, je n'ai rien compris ^^ je rentre la fonction dans la calculatrice sinon

Edit : d'après la calculatrice, c'est pour x=5 mais comment le prouver ?

Non, l'idéal serait de le faire de tête.

A(x) = 2(x-5)² + 50

Cette fonction a une expression de la forme A(x) = B(x) + C avec C une constante. Dans ton cours "généralités sur les fonctions", tu dois savoir (même intuitivement) qu'une telle fonction se représente par le graphe de B qu'on rehausse de C, parallèlement à l'axe des ordonnées.
Ici, il convient donc mieux d'étudier la fonction d'expression A(x) - 50 plutôt que A(x), car alors on a qqchose de la forme 2(x-5)², et ça tu sais directement en quelles abscisses ça s'annule.

Si pas clair encore, viens ici : http://flockdraw.com/7p90zm