Fonction paramétrée

[kadaid]

Bonjour
On donne la fonction rationnelle f(x)=(x²+3x+4m)/[(x²+(5m+1)x+3)], m est un paramètre
Démontrer que toutes les courbes de f passent par trois points fixes.

ensemble de définition de f:
il faut que x²+(5m+1)x+3 <>0
donc x<>[V(25m²+10m-11)-5m-1]/2 ou x<>-[V(25m²+10m-11)+5m+1]/2 , V=racine carrée
Aussi il faut que (25m²+10m-11)>=0
(25m²+10m-11)>=0 pour m dans ]-oo;-((2V(3)+1)/3] U [((2V(3)+1)/3;+oo[
en posant y=f(x) on obtient:yx²+m(5xy-4)+3y+yx-x²-3x=0
En cherchant dans mes souvenirs je procède comme suit sans trop savoir pourquoi!
5xy-4=0 ET yx²+3y+yx-x²-3x=0
y=4/(5x) ET -5x^3-11x²+4x+12=0
dans -5x^3-11x²+4x+12=0 , 1 est une racine évidente, donc on factorise par (x-1) et on obtient une équation du second degré...
et finalement les trois points sont {(-2;-2/5),(-6/5;-2/3),(1;4/5)}
Est ce que c'est ce qu'il faut faire ? Est ce correct ?

Merci pour vos commentaires

[zygomatique]

salut

il serait bien d'apprendre à sauter des lignes afin de rendre lisible le texte ...

donc x<>[V(25m²+10m-11)-5m-1]/2 ou x<>-[V(25m²+10m-11)+5m+1]/2 , V=racine carrée

tu calcules donc la racine carrée d'un nombre sans savoir son signe ? ....

à quelle condition le dénominateur (qui est un trinome du second degré) ne s'annule pas ?

En cherchant dans mes souvenirs je procède comme suit sans trop savoir pourquoi!
...
Est ce que c'est ce qu'il faut faire ? Est ce correct ?

en sachant pourquoi tu fais ce que tu fais alors tu sauras si c'est ce qu'il faut faire ....


si toutes les courbes passent par trois points fixes alors certaines d'entre elles aussi ...

en particulier on peut en choisir deux et chercher leur points d'intersection .... et vérifier que toutes les autres passent par les mêmes points d'intersection ...

[Pseuda]

en posant y=f(x) on obtient:yx²+m(5xy-4)+3y+yx-x²-3x=0
En cherchant dans mes souvenirs je procède comme suit sans trop savoir pourquoi!
5xy-4=0 ET yx²+3y+yx-x²-3x=0
y=4/(5x) ET -5x^3-11x²+4x+12=0
dans -5x^3-11x²+4x+12=0 , 1 est une racine évidente, donc on factorise par (x-1) et on obtient une équation du second degré...
et finalement les trois points sont {(-2;-2/5),(-6/5;-2/3),(1;4/5)}
Est ce que c'est ce qu'il faut faire ? Est ce correct ?

Merci pour vos commentaires

Bonsoir,

Les points trouvés sont corrects, mais il faut comprendre pourquoi : la courbe passe un point fixe pour tout m si et seulement l'équation en m : yx²+m(5xy-4)+3y+yx-x²-3x=0 est vérifiée pour tout m, donc si et seulement si : y=4/(5x) ET -5x^3-11x²+4x+12=0 : on aura 0m=0 donc l'équation sera vérifiée pour tout m.

[Lostounet]

Ta méthode semble porter ses fruits !

[kadaid]

Bonjour à tous pour les explications et les belles courbes!
Cependant je dois reprendre des choses que zygomatique a remarquées:
Ensemble de définition de f:
x²+(5m+1)x+3 doit etre <>0

discriminant=25m²+10m-11

25m²+10m-11 s'annule pour m=(-2V3-1)/5 ou m=(2V3-1)/5

25m²+10m-11<0 sur D=](-2V3-1)/5 ; (2V3-1)/5[

Pour m dans D le dénominateur n'est pas nul et f est définie dans IR

Maintenant J'applique ta méthode (deuxième méthode)
Intersection de deux courbes C0 et C1
(x²+3x)/(x²+x+3)=(x²+3x+4)/(x²+6x+3)

Après développement: -5x^3-11x²+4x+12=0
les mêmes solutions que dans la première méthode et les mêmes points fixes

Cas général: Soit l'ntersection de deux courbes Cm1 et Cm2
(x²+3x+4m1)/(x²+(5m1+1)x+3)=(x²+3x+4m2)/(x²+(5m2+1)x+3)

Après développement:
(m2-m1)(5x^3+15x²-4x²-4x-12)=0 , produit nul

m2=m1 ou x={-2;-6/5;1}

f(-2)=(-2+4m)/(5-10m)=2(2m-1)/(-5(2m-1))=-2/5

idem f(-6/5)=-2/3

f(1)=4/5

Les trois points sont (-2 ;-2/5),(-6/5 ;-2/3),(1 ;4/5)

1°) m1=m2 veut dire que quelque soit m dans D les courbes Cm se coupent en des points fixes (mais je ne garantis rien…)

2°) Les coordonnées des trois points sont indépendantes de m, donc les courbes Cm passent par trois points fixes.

[Ben314]

Salut,
Si tu procède comme tu l'as fait en commençant par chercher l'intersection de C0 et de C1 (*), alors il me semblerait infiniment plus simple de regarder si les points obtenus sont (ou pas) sur les autres courbes Cm pour tout m plutôt que de recommencer à calculer les intersection de courbes prises 2 à 2.

(*) Ce n'est pas le seule méthode possible : voir par exemple celle proposé par PSEUDA

[kadaid]

Bonjour Ben314
La méthode proposé par PSEUDA je l'ai déjà faite dans mon premier message.

Dans mon message ci dessus (mon dernier) jai repris les remarques que m'as faites zygomatique et la méthode qu'il m'a proposée.

Si tu lis ce qu'il m'a proposé, tu verras qu'il m'a conseillé de prendre un exemple de deux courbes puis démontrer dans le cas général, je pense c'est ce que j'ai fait!

[Ben314]

en particulier on peut en choisir deux et chercher leur points d'intersection .... et vérifier que toutes les autres passent par les mêmes points d'intersection ...

Non : ce qu'il te proposait de faire, c'était de chercher l'intersection de deux courbes puis de vérifier si les points trouvés étaient ou pas sur les autres.
Ce qui signifie que, une fois trouvé les intersections (-2 ;-2/5) , (-6/5 ;-2/3) et (1 ;4/5) de C0 et C1, tu regarde successivement si, dans la formule donnant fm(x) (avec un m quelconque) :
- Si on remplace x par -2, est-ce que ça fait -2/5 systématiquement (i.e. quelque soit m) ?
- Si on remplace x par -6/5, est-ce que ça fait -2/3 systématiquement ?
- Si on remplace x par 1, est-ce que ça fait 4/5 systématiquement ?

[kadaid]

Voilà ce que j'avais fait:
f(-2)=(-2+4m)/(5-10m)=2(2m-1)/(-5(2m-1))=-2/5

idem f(-6/5)=-2/3

f(1)=4/5

Les trois points sont (-2 ;-2/5),(-6/5 ;-2/3),(1 ;4/5)
Je pense que c'est bon

[kadaid]

oui, j'ai ajouté ce qu'i m'a conseillé à un cas général que j'ai cru comprendre

[kadaid]

Bonjour

Je pense que l'ensemble de définition que j'ai donné est faux:
Ensemble de définition de f:
x²+(5m+1)x+3 doit etre <>0

discriminant=25m²+10m-11

25m²+10m-11 s'annule pour m=(-2V3-1)/5 ou m=(2V3-1)/5

25m²+10m-11<0 sur D=](-2V3-1)/5 ; (2V3-1)/5[

Pour m dans D le dénominateur n'est pas nul et f est définie dans IR

Je vois que pour m=2 qui n'est pas dans D que j'ai déterminé et x=2 , f(2)=18/29

Merci pour vos commentaires