Fonction logarithme

[zonko]

Bonjour,
Pourriez vous m'aider à comprendre cet exercice:

Sur un plan orthogonal (4 cm en abscisse, 1 cm en ordonnées) d'intervalle ]0;4] est tracé la courbe C, fonction définie sur ]0;+infinie[ pr f(x)=x²(a+b lnx) où a et b désignent deux constantes réelles, et ln la fonction logarithme népérien.

le graphique est ici

1/ Calculer f'(x) où f' désigne la dérivée de f.
2/ La courbe représentative de f passe par le point A (1;3). Elle admet en A une tangente D de coefficient directeur 4. Montrer que f (x) = x²(3-2lnx)
3/ Déterminer une équation de la droite D.
4/ Déterminer la valeur exacte de l'absisse du point B de la courbe où la tangente à C est parallèle à l'axe des abscisses.
5/ a) Etudier les variations de f sur [4;+infinie[. Calculer la limite de f en +infinie.
b) Montrer que l'équation f(x)=3 adùet une solution unique sur l'intervalle [4;5] et donner une valeur approchée à 0.01 près decette solution.
6/ Calculerla dérivée de la fonction g définie sur ]0;+infinie[ par g(x) = x^3(11-6lnx).
7/ En déduire la valeur exacte, puis une valeur approchée à 0.1 près par excès, de l'aire exprimée en cm² de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe représentative de f et les droites d'équation x=1 et x=e.


Une entreprise fabrique x milliers d'objets (0<x<4). Le coût de fabrication de ttous ces objets, en milliers de francs, est supposé égal à f(x), où f désigne la fonction étudiée précédemment. Le coût moyen de fabrication d'un objet est, en francs, m(x)= f(x)/x.
Soit k le nombre d'objets pour le quel le coût moyen de fabrication est maximal.

1/ Etudier les variations de la fonction m sur l'intervalle ]0;4[.
2/ En déduire la valeur exacte du nombre entier A.
3/ Calculer le coût moyen maximal à un centième pràs.

Voici les réponses que j'ai trouvé:

1/ Pour la dérivée, je trouve :

f''(x) = ax²+blnx (x²)
= ax + b 1/x (x)
= ax + b

2/ Je ne comprends pas coment calculer cette fonction.

3/ f''(x)= 6x-2

f'(1)=3 et f'(1)=4

y-f(1)=f'(1)(x-1)
D= f'(1)(x-1) + f(1)
D= 4x - 4 +3
D= 4x -1

4/ Je sais que la valeur exacte de l'abscisse est e=2.718, mais j'ignore comment le calculer

5/ a) la limite de x quand f tend vers + infinie est - infinie.
Sur [4;+infinie[, la fonction est décroissante. Lorsque x=4, f(x)= 3.64.

b) J'ignore comment trouver le résultat.

6/ f''(x)= 11x^3-6lnx(x^3)
= 33x² - 6 * 1/x 3(x²)
= 33x² - 18/x (x²)
= 33x² - 18x

7/ J'aurais besoin d'aide pour trouver la primitive de la fonction g(x).


1/ La fonction m(x) est croissante jusqu'à x=1.6, avec pour résultat 3.296.
La fonction est décroissante jusqu'à x=4, avec pour résultat 0.910.
Il y a valeur interdite lorsque x=0.

2/ 3/ L'entreprise doit fabriquer 1 600 objets pour atteindre son coût de fabrication maximal évalué à 3 296 francs.


Vérifiez au passage si mes résultats sont corrects svp.