[TS] Etude de Fonction Logarithme

[Kyos]

Bonjour,
Je voudrais avoir de l'aide sur un exo qui porte sur un chapitre que je maitrise pas bien encore. Merci d'avance :ptdr:

A) Etude d'une fonction auxiliaire
g est la fonction définie sur [0;+infini[ par :
g(x)= (2x²)/(x²+1) - Ln(1+x²)

1) Démontrez que sur l'intervalle [1;+infini[ l'équation g(x)=0 admet une solution unique alpha et donnez pour encadrement d'amplitude 10^-1
-> g'(x)= [4x(x²+1)-(2x²)(2x)]/(x²+1) - (2x)/(1+x²)
g'(x)= (4x)/(x²+1)² - (2x)/(1+x²)= (4x-4x²)/(x²+1)²
(x²+1)²>0, le signe de g'(x) dépend de (4x-4x²)
delta=16=4² donc x1=1 et x2=-1/8
Elle est continu strictement décroissante sur [0;+infini[, donc
f([0;+infini[)=[1;+infini[ or 0€[1;+infini[ donc f admet une unique solution dans [0;+infini[
Pour l'encadrement je ne sais pas comment faire :hum:

2) Précisez le signe de g(x) sur l'intervalle [0;+infini[
-> g(-x)=(2(-x)²)/((-x²)+1) - Ln(1-(x)²)=(2x²)/(x²+1) - Ln(1+x²)=g(x)
Donc g(x) est pair

J'ai aussi la deuxieme partie qui concerne l'étude de fonction, mais je voudrai d'abord m'assuré de ces résultats

[Noemi]

Vérifie ce calcul.
g'(x)= (4x)/(x²+1)² - (2x)/(1+x²)= (4x-4x²)/(x²+1)²

On doit trouver -2x(x^2-1)/(x^2+1)^2

[Kyos]

J'ai beau essayer mais je n'arrive pas a ton résultat :
g'(x)=(4x)/(x²+1)² - (2x)/(1+x²)=(4x)/(x²+1)² - (2x(x²-1))/[(x²+1)(x²-1)]
g'(x)=(4x-2x(x²-1))/(x²+1)²
g'(x)=(4x-2^3-2x)/(x²+1)²

mais la c'est pas bon :cry:

[Noemi]

g'(x)=(4x)/(x²+1)² - (2x)/(1+x²)=(4x)/(x²+1)² - (2x(x²+1))/(x²+1)²
g'(x)=(4x-2x^3-2x))/(x²+1)²
g'(x)=(2x-2x^3)/(x²+1)²
g'(x)=2x(1-x²)/(x²+1)²

[Kyos]

Ah uoi j'ai pas du tout vu le coup de la factorisation :marteau:
Donc sur [1;+infini[ g décroi
La rédaction je pense est bonne pour justifier l'unique solution de g(x)=0

Mais comment faire pour l'encadrement, avec la calculete?

[Noemi]

Donc sur [1;+infini[ g décroit de 0,30685 à -oo donc
il existe une solution pour g(x)=0.
A la calculatrice, calcule :
g(1) =0,30685
g(2) =-0,0094
g(1,98) = 0,00014
g(1,99) = -0,0046

[Kyos]

Je n'ai pas saisi le principe de l'encadrement, il faut donner la valeur à 10^-1 qui se rapproche le plus de g(x)=0
De plus faut il faire un calcule de limites?
Pour la derniere sur le signe, j'ai dit qu'elle etait pair mais je sais pas si elle est bonne ou pas :triste:

En tout cas je te remerci Noemi de te consacrer un peu de ton temps pour m'aider ^^

[Noemi]

Pour l'encadrement :
g(1,9) = 0,03793 et g(2) = -0,0094
donc alpha compris entre 1,9 et 2

Pour le signe de g(x) : de x variant 0 à alpha g(x) >ou =0
pour x > alpha g(x) < 0.