Fonction logarithme
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
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anonymous84
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par anonymous84 » 19 Jan 2022, 18:44
Bonjour, je suis bloqué sur un problème, il faut prouver que:
10^3log(x)+2 = 100x^3
Si quelqu'un peut m'aider,
Merci d'avance
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MaynaMilano
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par MaynaMilano » 19 Jan 2022, 18:58
Bonjour,
Quelle est la base du logarithme ?
Tu peux te servir de cette propriété du logarithme :
=p.log_b(x))
En d'autres termes :
=log(x^{10^{3}}))
Par propriété des puissances :

Donc :
=log_b(x^{30}))
On reprend l'équation de base :
+2=log_b(x^{30})+2)
+2=100x^3)
Donc on a :
=100x^3-2)
Après c'est relativement simple. Il te faut la base de ton logarithme (si ce n'est pas le logarithme népérien) car une des propriétés essentielles des log est :
=\frac{ln(x)}{ln(b)})
On va juste montrer que le premier membre de l'équation est égal au second. Ou alors montrer directement :
Donc que
}{ln(b)}+2=100x^3)
En espérant avoir pu aider un petit peu
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anonymous84
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par anonymous84 » 19 Jan 2022, 19:10
Le problème c'est que nous n'avons pas vu toutes ces formules, j'avais trouvé une réponse mais je ne suis pas sure qu'elle marche. J'avais fait:
10^3log(x)+2 = 10 ^log(x^3)+log(100) = 10 ^log(100x^3)
10^log(100x^3)= log(10^100x^3) = 100x^3^log10 et 100x^3^log10 = 100x^3
Mais je ne suis pas sure que cela soit possible de déplacer les log de comme ça
Merci d'avance
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MaynaMilano
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par MaynaMilano » 19 Jan 2022, 19:18
La transformation effectuée dans la première ligne de calcul c'est :
+2=10^{log(x^{3})}+log(100))
?
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Rdvn
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par Rdvn » 19 Jan 2022, 19:26
Bonsoir
Je pense que anonymous84 voulait dire
10^(3log(x)+2)
dans ce cas la première étape est
10^(a+b)=10^a . 10^b
log désigne le logarithme décimal
A vous ...
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anonymous84
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par anonymous84 » 19 Jan 2022, 19:30
Non c'est 10^(3\log (x)+2) = 10 ^(log (x^3) + log (100))
En fait tout le calcul est exposé en puissance
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MaynaMilano
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par MaynaMilano » 19 Jan 2022, 19:41
Merci pour l'éclairage.
Donc pour donner une piste si je ne m'abuse et Rdvn dites moi si je me trompe :
+2}\iff 10^{3.log(x)}\times 10^{2}\iff 10^{log(x^{3})} \times100)
Or pour tout log de base b, la fonction réciproque est

.
Donc effectivement le calcul est juste car

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MaynaMilano
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par MaynaMilano » 19 Jan 2022, 19:42
Suite : Or on a

donc la démonstration par le produit est bonne Anonymous
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Rdvn
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par Rdvn » 19 Jan 2022, 19:43
Pourquoi y a-t-il à présent 3\log(x) ?
Absent de l'énoncé
Qui d'ailleurs signifierai quoi ?
De quoi parlez vous au juste ?
Mettez les parenthèses où il en faut
Avec le résultat attendu, mon énoncé convient ...
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Rdvn
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par Rdvn » 19 Jan 2022, 19:50
@MaynaMilano
oui mais ce sont des égalités, pas des équivalences
Mais anonymous84 avait modifié son énoncé
Donc
Avec mon énoncé, le résultat attendu, vos calculs mais avec =, on arrive à quelque chose de cohérent
Est ce OK ?
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anonymous84
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par anonymous84 » 19 Jan 2022, 19:52
Désolé, c'est une erreur de frappe
En effet, la première étape est: 10^(a+b)=10^a . 10^b
Donc dites moi si je me trompe mais cela donne: 10^(3log(x)) X 10^2
Ensuite je dois faire quoi ?
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Rdvn
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par Rdvn » 19 Jan 2022, 19:58
Eh bien
10^2=100
et pour 10^(3log(x)) voyez la réponse de MaynaMilano (mettre = au lieu de <=>)
Que proposez vous ?
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mathelot
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par mathelot » 19 Jan 2022, 20:06
bonsoir,
log() désigne le logarithme décimal.
on a
}=\left( 10^{log(x)} \right) ^3)
}=x^3)
d'où
+2}=10^{3 log(x)} \times 10^2= x^3 \times 100 = 100 x^3)
en effet,
)
et

sont des bijections réciproques l'une de l'autre , si bien que:
}=x)
pour x>0
=x)
pour x réel
Modifié en dernier par
mathelot le 19 Jan 2022, 20:10, modifié 1 fois.
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anonymous84
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par anonymous84 » 19 Jan 2022, 20:06
Donc 10^(3log(x) + 2) = 10^log(x^3) X 100
et 10^log(x^3) = x^3 donc x^3 X 100 = 100x^3
Est-ce bien juste ?
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mathelot
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par mathelot » 19 Jan 2022, 20:12
oui, c'est juste.
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Rdvn
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par Rdvn » 19 Jan 2022, 20:21
@anonymous84
Votre dernière réponse est correcte (x>0 en énoncé, je présume)
C'est celle que j'attendais de votre part, après mon indication, conformément à la charte du forum.
Voilà qui est fait
Bonne soirée
@MaynaMilano
Voyez la différence entre = et <=>
Revenez sur le forum au besoin
Bonne soirée
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mathelot
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par mathelot » 19 Jan 2022, 20:37
MaynaMilano a écrit:Par propriété des puissances :

cette égalité est fausse car

désigne
})
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anonymous84
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par anonymous84 » 19 Jan 2022, 21:36
Merci beaucoup à tous de m'avoir aidé !
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Jérôme
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par Jérôme » 19 Jan 2022, 21:49
@anonymous84
Il faut tout rentrer dans le log derrière la puissance de 10 afin de les "faire disparaître" : 10^log(X) =X car le log est "l'opération contraitre" de 10^.
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mathelot
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par mathelot » 19 Jan 2022, 22:49
On parle de bijections réciproques
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