La fonction logarithme népérien

[Toshiba]

Bonsoir,

j'ai besoin d'aide svp je ne comprend pas cet exercice pouvez-vous m'aider?

PARTIE I
étude d'une fonction auxiliaire

Soit g définie sur [0;+00[ par:g(x)=In (1+x)-1,5x²+x/(x+1)².

1/Calculer g'(x) et étudier son signe.

PARTIE II

Soit f définie sur [0;+00[ par:

f(x)=In(1+x)/x-0.5/x+1 si x et f(0)=0.5 .

1/Montrer que f est continue en 0.
2/Montrer que pour tout x de )0;+00 [ , f'(x)=-g(x)/x².
3/Dresser tableau de variations de f.
4/En déduire que pour tout x de ]0;+00[:0
PARTIE III
étude d'une suite

Soit (Un) la suite définie par U1 et Un+1=In(1+Un).On admet que cette suite est bien définie.

1/Montrer que pour tout n de N*:Un>0.
2/Montrer que pour tout n de N*: 0
3/En déduire que la suite (Un) est strictement décroissante et qu'elle converge.
4/En utilisant (*), montrer que:
lim Un=0.
n->+00

Merci beaucoup :we: :triste:

[Huppasacee]

Bonsoir

Pour calculer une dérivée, qu'y a-t-il à comprendre
l'as tu fait ?

Pour prouver la continuité en 0 , il faut prouver que limite quand x tend vers 0 de f(x) = 0,5

La question suivante est une vérification
on calcule la dérivée de f et on compare les 2 expressions

[Toshiba]

:help: :help: :help:

[Toshiba]

1/g'(x)=-3x²-2x+1/(1+x)(2x+2)et Pour tout x de I,1+x et 2(x+2) sont positifs,
g'(x) et -3x²-2x+1 ont donc des signes opposés.

étudions le signe du trinôme du second degré:
-3x²-2x+1.
On a: =4+12
= 16 =(2V4)²>0. Ainsi l'équation -3x²-2x+1=0 admet deux solutions :
x1=2-2V4/2=2(1-V4)/2
x1=1-V4 et x2=1+V4.
On déduit:
Si x ]-00;1-V4[U]1+V4;+00[ alors :-3x²-2x+1>0;Si x ]1-V4;1+V4[ alors :-3x²-2x+1<0.