Fonction exponentielle

[fred]

Bonjour à tous, je suis en terminale S et je n'arrive pas à résoudre ce problème, pouvez-vous m'aider?


Pour n supérieur ou égal à 1, on définit sur I=[0;1] la fonction f par:

f(x)=-e^-x (1+ x/1!+ x²/2! +...+x^n/n!)

avec n!=1*2*...*(n-1)*n

a) Calculer f'(x)

b) montrer que pour tout x appartenant à I:
0 infèrieure ou égal à f'(x) inférieur ou égal à 1

c) En déduire que f(1) supérieur ou egal à f(o)

d) En utilisant les variations de la fonction g définie sur I par g(x)=f(x)-x/x!, montrer que f(1) inférieur ou égal à f(0)+1/n!

e) En notant vn=1+1/1!+1/2!+...+1/n!, en déduire que:

e(1-1/n!) inférieur ou égal à vn inférieur ou égal à e

f) montrer alors que 0 inférieur ou egal à e-vn inférieur ou égal à 3/n!

g) Déterminer n0 tel que, pour n supérieur ou egal à n0, e-vn inférieur ou egal à 10^-4


Merci beaucoup de m'aider, je n'y arrive vraiment pas! Si vous pouviez me donner quelques pistes.

Merci

[kaya]

j'ai très peu de temps là alors je ne te donnerai que quelques indications:
a)purement du calcul ((e^-x)(1+x/1!+x^2/2!+...+x^n/n!)'=-e^-x(...)+e^-x(1+x/1!+...+x^(n-1)/(n-1)!
>> il y a suppression de termes et tu continues...
b)entre 0 et 1 e^x>x^n
c)f'(x)<=1

[fred]

Malgré votre aide, je n'y arrive pas!!!

Aider moi s'il vous plaît

[kaya]

désolé j'ai cru voir e^-x et non -e^-x
on a donc
soit ,
soit et
et pour le d) c'est bizar... ton avec
à toi de continuer bon courag...

[fred]

Aidez moi s'il vous plaît, je ne comprend rien

Merci

[Nicolas_75]

kaya t'a déjà beaucoup aidé. Quel est ton problème précisément ?