Ts. Fonction exponentielle

[Anonyme]

J'ai ce petit exercice à faire.
Je ne comprends pas vraiment comment faire:


On se propose d'étudier certaines fonctions fk de la variable réelle x
définie sur l'intervalle [0 ; +oo[ par:
fk (x) = x. e^(-x) + k.x
Où k est un réel donné quelconque et de construire leurs courbes
représentatives Ck.

a.
Déterminer selon les valeurs réel k, lim fk (x) quand x-> +oo

Montrer que la droite Dk d'équation y = kx est une asymptote en +oo à la
courbe Ck.
Préciser la position de Ck par rapport à Dk.

b. Calculer fk ' (x) et fk'' (x).
Donner selon les valeurs du réel k, lim fk' (x) quand x-> +oo

Donner le sens de variation de fk'.

2. Donner le tableau de variation de f0 et de f1.

3. Le plan est rapporté au repère orthonormal (O,i,j). Pour le dessin,
on choisi pour unité 5cm.
a. Donner les coefficients directeurs des tangente à l'origine T0 et T1
repectivement à C0 et C1.
b. Construire les tangentes T0 et T1, les asymptotes D0, D1 et les
courbes C0 et C1.





a.
lim fk (x) = +oo si k>0
x-> +oo

lim fk (x) = -oo si k<0
x-> +oo

lim fk (x) = 0 si k=0
x-> +oo



Si Dk est asymptote à C en +oo:
lim (x. e^(-x) + k.x - k.x) = 0
x-> +oo

lim (x. e^(-x) + k.x - k.x) = lim (x.e^(-x)) = 0
x-> +oo x-> +oo

Donc Dk est asymptote à Ck.

Position de Ck par rapport à Dk:
On calcule:
fk (x) - kx



b.
fk' (x) = (e^(-x)) (x+ 1) + k

fk'' (x) = 2 (x. e^(-x)) + e^(-x)


Sens de variation de fk'(x):

On prend fk'' (x).
(Il n'y a pas de valeurs pour la quelle la fonction est nul).

La fonction fk' (x) est strictement décroissante sur R
(J'ai un petit doute la dessus.. je ne suis pas sûr).


2.
f0 = x.e^(-x) + 0
f1 = x.e^(-x) + x

On calcule f0' et f1'. On cherche les valeurs pour lesquelles les
équations sont nulles, puis on cherche le sens de variations.

x |-oo 0 +oo
f0'| + O -
f0 | croissant | décroissant
f1'| + O +
f1 | toujours croissant

(Idem que la 1.b. si je pouvais avoir une explication).


3.a
T1: y1 = f0' (x - 0) + f(0)
T2: y2 = f1' (x - 1) + f(1)

Les coefficients directeurs sont f0' et f1'



J'aimerai avoir quelques éclaircissements.


Merci d'avance :).