Ts: Fonction exponentielle

[Anonyme]

Bonjour,

Soit f la fonction définie sur R par:
f(x) = e^x / (e^x + 1)
On note Csa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1.a.
Etudier les variations de F
1.b. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition

2. Soit A, le point de coordonnées (0 ; 1/2). Prouver que A est centre
de symétrie de C.

3.a. Déterminer une équation de la tangente T à C en A.
3.b. Préciser la position de C par rapport à T (On pourra étudier les
variations et le signe d'une fonction connue).

4. Faire une représentation graphique.


Ce n'est pas compliqué, mais je ne sais pas comment faire certaines choses.

1.a:
f(x) = e^x / (e^x + 1)

f'(x) = e^x / (e^x + 1)²

f'(x) > 0

Donc:

x |_-oo_____________+oo__
f'(x)|_________+____________
f(x) | croissant


1.b.
lim f(x) = lim e^x / (e^x + 1) = lim 1 / (1 + 1/e^x) = 1
x-> +oo x-> +oo x-> +oo

lim f(x) = lim 1 / (1 + 1/e^x) = 1 = 0
x-> -oo x-> - oo

(On pourra compléter le Tableau de Variation).

2.
A est centre de symétrie si ses coordonnées vérifient:

[f(0 + x) + f( 0 - x)] /2 = 1/2

[f(x) + f(-x)] = [e^x / (e^x + 1) + e^(-x) / (e^(-x) + 1)] / 2

Je ne vois pas comment on peut modifier l'équation..

3.a.
Tangente:
y = f'(x0) (x - x0) + f(x0)
x0 = 0
f'(x0) = 1/4
f(x0) = 1/2

T: y = x/4 + 1/2

3.b.
La position de C par rapport à T est donnée par le signe de f(x) - (x/4
+ 1/2)

(Idem que pour le 2, je ne sais pas comment on peut développer ça pour
arriver au résultat).

Merci d'avance.

[Anonyme]

Alexandre a écrit:
> Bonjour,
>
> Soit f la fonction définie sur R par:
> f(x) = e^x / (e^x + 1)
> On note Csa courbe représentative dans un repère orthonormal.
>
> 1.a.
> Etudier les variations de F
> 1.b. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition
>
> 2. Soit A, le point de coordonnées (0 ; 1/2). Prouver que A est centre
> de symétrie de C.
>
> 3.a. Déterminer une équation de la tangente T à C en A.
> 3.b. Préciser la position de C par rapport à T (On pourra étudier les
> variations et le signe d'une fonction connue).
>
> 4. Faire une représentation graphique.

[...]

> x-> +oo x-> +oo
>
> lim f(x) = lim 1 / (1 + 1/e^x) = 1 = 0
> x-> -oo x-> - oo
>

Ca n'est même pas la peine de factoriser car ce n'est pas une forme
indeterminée

> 2.
> A est centre de symétrie si ses coordonnées vérifient:
>
> [f(0 + x) + f( 0 - x)] /2 = 1/2
>
> [f(x) + f(-x)] = [e^x / (e^x + 1) + e^(-x) / (e^(-x) + 1)] / 2
>
> Je ne vois pas comment on peut modifier l'équation..

en mettant au même dénominateur ? ca a l'air méchant mais ca va
s'arranger...

> 3.a.
> Tangente:
> y = f'(x0) (x - x0) + f(x0)
> x0 = 0
> f'(x0) = 1/4
> f(x0) = 1/2
>
> T: y = x/4 + 1/2

oui

> 3.b.
> La position de C par rapport à T est donnée par le signe de f(x) - (x/4
> + 1/2)
>
> (Idem que pour le 2, je ne sais pas comment on peut développer ça pour
> arriver au résultat).

Suis les conseils que l'on te donne : étudier les variatiosn et le signe
d'une fonction connue...
Poses par exemple g -> f(x) - (x/4 +1/2). Tu veux savoir (par exemple)
quand g est positive .. dérives g une fois, tu pourra en déduire des
infos sur la croissance de g, puis obtenir son signe

--
albert

[Anonyme]

> Ca n'est même pas la peine de factoriser car ce n'est pas une forme
> indeterminée

Je pensais ..
Pour moi, ça faisait plus l'infini sur (plus l'infini plus 1), donc plus
l'infini sur plus l'infini, donc F.I.
Apparemment, il y avait plus simple ..

[color=green]
>> A est centre de symétrie si ses coordonnées vérifient:
>>
>> [f(0 + x) + f( 0 - x)] /2 = 1/2
>>
>> [f(x) + f(-x)] = [e^x / (e^x + 1) + e^(-x) / (e^(-x) + 1)] / 2
>>
>> Je ne vois pas comment on peut modifier l'équation..
>
>
> en mettant au même dénominateur ? ca a l'air méchant mais ca va
> s'arranger...[/color]


Je sais que e^(-a) = 1/ e^a

Mais 1 / (e^(-a) + 1) ?

Ça devrait faire (e^a + 1) / (e^a + 1)²

???

[Anonyme]

Alexandre a écrit:
>[color=green]
>> Ca n'est même pas la peine de factoriser car ce n'est pas une forme
>> indeterminée
>
>
> Je pensais ..
> Pour moi, ça faisait plus l'infini sur (plus l'infini plus 1), donc plus
> l'infini sur plus l'infini, donc F.I.
> Apparemment, il y avait plus simple ..[/color]

Si je ne m'abuses tu cherchais la limite en -oo (ou alors j'ai répondu
au mauvais endroit), et e^x en -oo tend vers 0, donc ca te fais du "0/1"
[color=green][color=darkred]
>>> A est centre de symétrie si ses coordonnées vérifient:
>>>
>>> [f(0 + x) + f( 0 - x)] /2 = 1/2
>>>
>>> [f(x) + f(-x)] = [e^x / (e^x + 1) + e^(-x) / (e^(-x) + 1)] / 2
>>>
>>> Je ne vois pas comment on peut modifier l'équation..
>>
>>
>>
>> en mettant au même dénominateur ? ca a l'air méchant mais ca va
>> s'arranger...[/color]
>
>
>
> Je sais que e^(-a) = 1/ e^a
>
> Mais 1 / (e^(-a) + 1) ?
>
> Ça devrait faire (e^a + 1) / (e^a + 1)²
>
> ???[/color]

e^x * (e^-x + 1) = e^(x-x) + e^x = 1 + e^x
e^-x * (e^x + 1) = 1 + e^-x
(e^x + 1) * (e^-x + 1) = 1 + e^x + e^-x + 1

[Anonyme]

> Si je ne m'abuses tu cherchais la limite en -oo (ou alors j'ai répondu
> au mauvais endroit), et e^x en -oo tend vers 0, donc ca te fais du "0/1"

Je me suis trompé de ligne, j'avais regardé ça:

> x-> +oo x-> +oo

Oui, c'est bon. J'ai voulu aller trop vite et ai repris la méthode du
+oo, inutile..


> [f(x) + f(-x)] / 2 = [e^x / (e^x + 1) + e^(-x) / (e^(-x) + 1)] / 2

f(x) + f(-x) = (1 + e^x + 1 + e^-x) / ((1 + e^x + 1 + e^-x) = 1

Donc
[f(x) + f(-x)] / 2 = 1/2

Donc A est centre de symétrie.

3.b.
La position de C par rapport à T est donnée par le signe de f(x) - (x/4
+ 1/2)

Soit g(x) = f(x) - (x/4 + 1/2)

g'(x) = f'(x) - 1/4

f'(0) = 1/4
Donc g'(0) = 1/4 - 1/4 = 0

x |_-oo_______0_________+oo__
g'(x)| - O +

Donc:
Sur ]-oo ; 0], T est au dessous de C
Et sur [0 ; +oo[ T est au dessus de C


??

[Anonyme]

Alexandre a écrit:

> 3.b.
> La position de C par rapport à T est donnée par le signe de f(x) - (x/4
> + 1/2)
>
> Soit g(x) = f(x) - (x/4 + 1/2)
>
> g'(x) = f'(x) - 1/4
>
> f'(0) = 1/4
> Donc g'(0) = 1/4 - 1/4 = 0
>
> x |_-oo_______0_________+oo__
> g'(x)| - O +
>
> Donc:
> Sur ]-oo ; 0], T est au dessous de C
> Et sur [0 ; +oo[ T est au dessus de C
>

oui
il faudrait juste justifier les signes de g', ie justifier sa croissance
(il suffit de dériver une seconde fois par exemple...)

--
albert

[Anonyme]

Alexandre wrote:[color=green]
>> Si je ne m'abuses tu cherchais la limite en -oo (ou alors j'ai
>> répondu au mauvais endroit), et e^x en -oo tend vers 0, donc ca te
>> fais du "0/1"
>
> Je me suis trompé de ligne, j'avais regardé ça:
>
> > x-> +oo x-> +oo
>
> Oui, c'est bon. J'ai voulu aller trop vite et ai repris la méthode du
> +oo, inutile..
>
>
>> [f(x) + f(-x)] / 2 = [e^x / (e^x + 1) + e^(-x) / (e^(-x) + 1)] / 2
>
> f(x) + f(-x) = (1 + e^x + 1 + e^-x) / ((1 + e^x + 1 + e^-x) = 1
>
> Donc
> [f(x) + f(-x)] / 2 = 1/2
>
> Donc A est centre de symétrie.
>
> 3.b.
> La position de C par rapport à T est donnée par le signe de f(x) -
> (x/4 + 1/2)
>
> Soit g(x) = f(x) - (x/4 + 1/2)
>
> g'(x) = f'(x) - 1/4
>
> f'(0) = 1/4
> Donc g'(0) = 1/4 - 1/4 = 0
>
> x |_-oo_______0_________+oo__
> g'(x)| - O +
>
> Donc:
> Sur ]-oo ; 0], T est au dessous de C
> Et sur [0 ; +oo[ T est au dessus de C
>
>
> ??[/color]
salut

oulala, qu'est ce qui te permet de dire que g'(x)0 pour
x>0 ?
as-tu calculé g'(x)?

[Anonyme]

> 3.b.
> La position de C par rapport à T est donnée par le signe de f(x) -
> (x/4 + 1/2)
>
> Soit g(x) = f(x) - (x/4 + 1/2)
>
> g'(x) = f'(x) - 1/4
>
> f'(0) = 1/4
> Donc g'(0) = 1/4 - 1/4 = 0
>
> x |_-oo_______0_________+oo__
> g'(x)| - O +
>
> Donc:
> Sur ]-oo ; 0], T est au dessous de C
> Et sur [0 ; +oo[ T est au dessus de C
>
>
> oui
> il faudrait juste justifier les signes de g', ie justifier sa croissance
> (il suffit de dériver une seconde fois par exemple...)
>

g''(x) = [ e^x * (e^x + 1)² - 2e^x * (ex + 1)² * e^x ] / [((e^x + 1)²)²]

Donc croissant.


Je viens de jeter un coup d'oeil sur la calculatrice, et:
lim g'(x) = -1/4
x-> -oo

lim g'(x) = -1/4
x-> +oo

lim g'(x) = 0
x-> 0


Donc normalement, la courbe est croissante sur ]-oo ; 0] et décroissante
sur [0 ; +oo[
Dans mon tablrau, j'ai l'inverse..

[Anonyme]

Alexandre a écrit:

>
> Je viens de jeter un coup d'oeil sur la calculatrice, et:
> lim g'(x) = -1/4
> x-> -oo
>
> lim g'(x) = -1/4
> x-> +oo
>
> lim g'(x) = 0
> x-> 0
>
>
> Donc normalement, la courbe est croissante sur ]-oo ; 0] et décroissante
> sur [0 ; +oo[
> Dans mon tablrau, j'ai l'inverse..


erf j'aurais du tout relire. On part de g = f(x) - (x/4 + 1/2)
Montrons que g'(x) est toujours négatif ou nul. On calcules g''(x) =
-e^x(e^x-1)/(e^x+1)^3. g'' s'annule en x = 0, est négative avant et
positive après. Donc g' croit avant 0 et décroit après. Or g'(0) = 0.
Donc g' est toujours négatif.
Donc g est décroissante. 0r g(0) = 1/2-1/2 = 0. Donc g est toujours
positif avant 0 et négatif après.

--
albert

[Anonyme]

J'ai deux nouveaux exerices. Il y a quelques questions que je n'arrive
pas à résoudre..


Exercice 1:

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct (O;u;v), unité
graphique: 2cm
On appelle A le point d'affixe -2i
À tout point M du plan d'affixe z, on associe le point M' d'affixe
z' = -2z\ + 2i

(z\ étant le conjugué de z)


1. On considère le point B d'affixe b = 3 - 2i
Déterminer la forme algébrique des affixes a' et b' des points A' et B'
associés respectivement aux points A et B. Placer ces points sur le dessin.

2.
Montrer que si M appartient à la droite Delta d'équation y = -2
alors M' appartient aussi à Delta

3. Démontrer que pour tout point M d'affixe z, |z' + 2i| = 2|z + 2i| ;
interpréter géométriquement cette égalité.

4.
Pour tout point M distinct de A, on appelle Oméga ? un argument de z + 2i
a. Justifier que ? est une mesure de l'angle (u; AM)
b. Démontrer que (z + 2i)(z' + 2i) est un réel négatif ou nul
c. En déduire un arguement de z' + 2i en fonction de ?.
d. Que peut-on en déduire pour les demi droites [AM) et [AM') ?

5. En utilisant les résultats précédents, proposer une construction
géométrique du point M' associé au point M.




Ce que j'ai fait:
1.
A': a' = -2a\ + 2i = -2 (-2i)\ + 2i = -2 * 2i + 21 = -2i
B': b' = -2b\ + 2i = -2 (3 - 2i)\ + 2i = -6 - 2i

2.
Si M appartient à Delta : y = -2, alors zm = -2i
Donc: z'm = -2 (-2i)\ + 2i = -2i

Donc M' appartient à Delta.

3.
z' = -2z\ + 2i
|z' + 2i| = |-2z\ + 2i + 2i| = |-2z\ + 4i| = |2( -z\ + 2i)| = 2 |z + 2i|
(Car: 2>0 et car |-z\| = |z|)

Je coince pour la suite..



Exercice 2:
On se propose d'étudier certaines fonctions fk de la variable réelle x
définie sur l'intervalle [0 ; +oo[ par:
fk (x) = x. e^(-x) + k.x
Où k est un réel donné quelconque et de construire leurs courbes
représentatives Ck.

a.
Déterminer selon les valeurs réel k, lim fk (x) quand x-> +oo

Montrer que la droite Dk d'équation y = kx est une asymptote en +oo à la
courbe Ck.
Préciser la position de Ck par rapport à Dk.

b. Calculer fk ' (x) et fk'' (x).
Donner selon les valeurs du réel k, lim fk' (x) quand x-> +oo

Donner le sens de variation de fk'.

2. Donner le tableau de variation de f0 et de f1.

3. Le plan est rapporté au repère orthonormal (O,i,j). Pour le dessin,
on choisi pour unité 5cm.
a. Donner les coefficients directeurs des tangente à l'origine T0 et T1
repectivement à C0 et C1.
b. Construire les tangentes T0 et T1, les asymptotes D0, D1 et les
courbes C0 et C1.


Ce que j'ai fait:
lim fk (x) = +oo si k>0
x-> +oo

lim fk (x) = -oo si k<0
x-> +oo

lim fk (x) = 0 si k=0
x-> +oo


Si Dk est asymptote à C en +oo:
lim (x. e^(-x) + k.x - k.x) = 0
x-> +oo

lim (x. e^(-x) + k.x - k.x) = lim (x.e^(-x)) = 0
x-> +oo x-> +oo

b.
fk' (x) = (e^(-x)) (x+ 1) + k

fk'' (x) = 2 (x. e^(-x)) + e^(-x)

La suite me pose quelques problèmes aussi,..


Merci

[Anonyme]

Exercice 1:

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct (O;u;v), unité
graphique: 2cm
On appelle A le point d'affixe -2i
À tout point M du plan d'affixe z, on associe le point M' d'affixe
z' = -2z\ + 2i

(z\ étant le conjugué de z)


1. On considère le point B d'affixe b = 3 - 2i
Déterminer la forme algébrique des affixes a' et b' des points A' et B'
associés respectivement aux points A et B. Placer ces points sur le dessin.

2.
Montrer que si M appartient à la droite Delta d'équation y = -2
alors M' appartient aussi à Delta

3. Démontrer que pour tout point M d'affixe z, |z' + 2i| = 2|z + 2i| ;
interpréter géométriquement cette égalité.

4.
Pour tout point M distinct de A, on appelle Oméga noté @ un argument de
z + 2i
a. Justifier que @ est une mesure de l'angle (u; AM)
b. Démontrer que (z + 2i)(z' + 2i) est un réel négatif ou nul
c. En déduire un arguement de z' + 2i en fonction de @.
d. Que peut-on en déduire pour les demi droites [AM) et [AM') ?

5. En utilisant les résultats précédents, proposer une construction
géométrique du point M' associé au point M.




Ce que j'ai fait:
1.
A': a' = -2a\ + 2i = -2 (-2i)\ + 2i = -2 * 2i + 21 = -2i
B': b' = -2b\ + 2i = -2 (3 - 2i)\ + 2i = -6 - 2i

2.
Si M appartient à Delta : y = -2, alors zm = -2i
Donc: z'm = -2 (-2i)\ + 2i = -2i

Donc M' appartient à Delta.

3.
z' = -2z\ + 2i
|z' + 2i| = |-2z\ + 2i + 2i| = |-2z\ + 4i| = |2( -z\ + 2i)| = 2 |z + 2i|
(Car: 2>0 et car |-z\| = |z|)



4.
a.
arg (z + 2i) = @
Je crois qu'on doit développer (u , AM) et on doit retrouver arg (z +
2i), mais je ne vois plus exactement comment..

b. J'ai développé l'équation et ai trouvé:
(z + 2i) (z' + 2i) = 2 [ -z.z\ + 2i(z - z\) + 4i²]

Je ne sais pas comment faire la suite..

c.
Si l'équation est nul, z + 2i = -z' - 2i = 2z\ - 2i
donc - arg (z+2i)
(Je ne pense pas que ce soit le bon raisonnement, puisque je laisse de
côté une étape (c-a-d quand c'est négatif..)


d.
[AM) et [AM') sont sécantes.
(Je pense qu'elles doivent être perpendiculaires. (mais ce n'est qu'une
supposition..)


5. (aucune idée..)



Exercice 2:
On se propose d'étudier certaines fonctions fk de la variable réelle x
définie sur l'intervalle [0 ; +oo[ par:
fk (x) = x. e^(-x) + k.x
Où k est un réel donné quelconque et de construire leurs courbes
représentatives Ck.

a.
Déterminer selon les valeurs réel k, lim fk (x) quand x-> +oo

Montrer que la droite Dk d'équation y = kx est une asymptote en +oo à la
courbe Ck.
Préciser la position de Ck par rapport à Dk.

b. Calculer fk ' (x) et fk'' (x).
Donner selon les valeurs du réel k, lim fk' (x) quand x-> +oo

Donner le sens de variation de fk'.

2. Donner le tableau de variation de f0 et de f1.

3. Le plan est rapporté au repère orthonormal (O,i,j). Pour le dessin,
on choisi pour unité 5cm.
a. Donner les coefficients directeurs des tangente à l'origine T0 et T1
repectivement à C0 et C1.
b. Construire les tangentes T0 et T1, les asymptotes D0, D1 et les
courbes C0 et C1.



Ce que j'ai fait:
lim fk (x) = +oo si k>0
x-> +oo

lim fk (x) = -oo si k<0
x-> +oo

lim fk (x) = 0 si k=0
x-> +oo


Si Dk est asymptote à C en +oo:
lim (x. e^(-x) + k.x - k.x) = 0
x-> +oo

lim (x. e^(-x) + k.x - k.x) = lim (x.e^(-x)) = 0
x-> +oo x-> +oo

b.
fk' (x) = (e^(-x)) (x+ 1) + k

fk'' (x) = 2 (x. e^(-x)) + e^(-x)


lim fk' (x) = k
x-> +oo

Variation de fk' (x):
Décroissante sur ]-oo ; 0]
Croissante sur [0 ; +oo[

Quelque soit k.
(Un éclaircissement serai le bienvenue, .. j'ai juste tracé et ré-écris
ce que j'aais sur la calculatrice..)

2. f0 = x.e^(-x) + 0
f1 = x.e^(-x) + x

On calcule f0' et f1'. On cherche les valeurs pour lesquelles les
équations sont nulles, puis on cherche le sens de variations.

x |-oo 0 +oo
f0'| + O -
f0 | croissant | décroissant
f1'| + O +
f1 | toujours croissant



3.a
T1: y1 = f0' (x - 0) + f(0)
T2: y2 = f1' (x - 1) + f(1)

Les coefficients directeurs sont f0' et f1'


Je coince sur plusieurs questions (problèmes de méthodes..).
J'ai donc jeté un coup d'oeil sur calculatrice, mais elle ne peut pas
vraiment m'aider..

Merci d'avance :).

[Anonyme]

J'ai finalement fini l'exercice 1. Il me reste celui-ci que je n'arrive
toujours pas à finir..

> Exercice 2:
> On se propose d'étudier certaines fonctions fk de la variable réelle x
> définie sur l'intervalle [0 ; +oo[ par:
> fk (x) = x. e^(-x) + k.x
> Où k est un réel donné quelconque et de construire leurs courbes
> représentatives Ck.
>
> a.
> Déterminer selon les valeurs réel k, lim fk (x) quand x-> +oo
>
> Montrer que la droite Dk d'équation y = kx est une asymptote en +oo à la
> courbe Ck.
> Préciser la position de Ck par rapport à Dk.
>
> b. Calculer fk ' (x) et fk'' (x).
> Donner selon les valeurs du réel k, lim fk' (x) quand x-> +oo
>
> Donner le sens de variation de fk'.
>
> 2. Donner le tableau de variation de f0 et de f1.
>
> 3. Le plan est rapporté au repère orthonormal (O,i,j). Pour le dessin,
> on choisi pour unité 5cm.
> a. Donner les coefficients directeurs des tangente à l'origine T0 et T1
> repectivement à C0 et C1.
> b. Construire les tangentes T0 et T1, les asymptotes D0, D1 et les
> courbes C0 et C1.
>
>
>
> Ce que j'ai fait:
> lim fk (x) = +oo si k>0
> x-> +oo
>
> lim fk (x) = -oo si k x-> +oo
>
> lim fk (x) = 0 si k=0
> x-> +oo
>
>
> Si Dk est asymptote à C en +oo:
> lim (x. e^(-x) + k.x - k.x) = 0
> x-> +oo
>
> lim (x. e^(-x) + k.x - k.x) = lim (x.e^(-x)) = 0
> x-> +oo x-> +oo
>
> b.
> fk' (x) = (e^(-x)) (x+ 1) + k
>
> fk'' (x) = 2 (x. e^(-x)) + e^(-x)
>
>
> lim fk' (x) = k
> x-> +oo
>
> Variation de fk' (x):
> Décroissante sur ]-oo ; 0]
> Croissante sur [0 ; +oo[
>
> Quelque soit k.
> (Un éclaircissement serai le bienvenue, .. j'ai juste tracé et ré-écris
> ce que j'aais sur la calculatrice..)
>
> 2. f0 = x.e^(-x) + 0
> f1 = x.e^(-x) + x
>
> On calcule f0' et f1'. On cherche les valeurs pour lesquelles les
> équations sont nulles, puis on cherche le sens de variations.
>
> x |-oo 0 +oo
> f0'| + O -
> f0 | croissant | décroissant
> f1'| + O +
> f1 | toujours croissant
>
>
>
> 3.a
> T1: y1 = f0' (x - 0) + f(0)
> T2: y2 = f1' (x - 1) + f(1)
>
> Les coefficients directeurs sont f0' et f1'
>
>
> Je coince sur plusieurs questions (problèmes de méthodes..).
> J'ai donc jeté un coup d'oeil sur calculatrice, mais elle ne peut pas
> vraiment m'aider..
>
> Merci d'avance .
>
>