voici un exercice que je n'arrive pas à résoudre:
Soit Vn= 1 + 1/n! + 1/2! + ... + 1/n!
en déduire que: e(1 - 1/n!)< vn < e.
montrer qalors que 0
Une piste serait la bienvenue. merci d'avance.
Fonction exponentielle
14 messages
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fonction exponentielle
par chaperon-r0uge » 27 Oct 2006, 18:54
Bonsoir,
voici un exercice que je n'arrive pas à résoudre:
Soit Vn= 1 + 1/n! + 1/2! + ... + 1/n!
en déduire que: e(1 - 1/n!)< vn < e.
montrer qalors que 0
Une piste serait la bienvenue. merci d'avance.
voici un exercice que je n'arrive pas à résoudre:
Soit Vn= 1 + 1/n! + 1/2! + ... + 1/n!
en déduire que: e(1 - 1/n!)< vn < e.
montrer qalors que 0
Une piste serait la bienvenue. merci d'avance.
par Quidam » 27 Oct 2006, 19:00
Bonsoir,
1 - Ne serait-ce pas plutôt Vn= 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n! ?
2 - N'y avait-il pas une question avant celle-ci dans l'exercice ?
1 - Ne serait-ce pas plutôt Vn= 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n! ?
2 - N'y avait-il pas une question avant celle-ci dans l'exercice ?
par chaperon-r0uge » 27 Oct 2006, 19:05
Oui excusez moi faute de frappe.
Avant il y a des autres questions mais je les ai déjà résolus.
Les voici:
Soit f(x)= -e^-x(1+ x/1! + x²/2! + ... + x^n/n!)
a.Calculer f'(x)
b.Montrer que 0
d.En utilisant les variations de la fonction g définie sur I par g(x)= f(x)- x/n!, montrer que f(1)
Avant il y a des autres questions mais je les ai déjà résolus.
Les voici:
Soit f(x)= -e^-x(1+ x/1! + x²/2! + ... + x^n/n!)
a.Calculer f'(x)
b.Montrer que 0
d.En utilisant les variations de la fonction g définie sur I par g(x)= f(x)- x/n!, montrer que f(1)
par Quidam » 27 Oct 2006, 19:19
Donc tu as prouvé que : f(0)
Et pourquoi tu nous avais caché ça ?
Utilise donc le début de l'exercice pour faire la fin ! C'est une méthode très, très classique !
Et pourquoi tu nous avais caché ça ?
Utilise donc le début de l'exercice pour faire la fin ! C'est une méthode très, très classique !
par chaperon-r0uge » 27 Oct 2006, 19:45
Alors on a:
1/n! > f(1) > f(0)
donc:
1/n! > e ( 1+ 1/1! + 1/2! +...+ 1/n!)
1/n!> e(Vn)
mais après ? peu être n'est-ce pas la bonne méthode.
1/n! > f(1) > f(0)
donc:
1/n! > e ( 1+ 1/1! + 1/2! +...+ 1/n!)
1/n!> e(Vn)
mais après ? peu être n'est-ce pas la bonne méthode.
par Quidam » 27 Oct 2006, 19:58
Quidam a écrit:Donc tu as prouvé que : f(0)<f(1)<1/n! !
Ouais ! J'aurais dû vérifier ! L'énoncé t'avais demandé de prouver que :
f(1)<f(0)+ 1/n!.
Et toi tu dis avoir prouvé que : f(0)<f(1)<1/n! ! Ca m'étonnerait beaucoup étant donné que la deuxième inégalité est fausse !
Normalement donc, tu devrais avoir prouvé que :
f(0) <f(1) < f(0) + 1/n!
Et si tu pars sur de bonnes bases, tu as peut-être une chance de t'en sortir !
par chaperon-r0uge » 28 Oct 2006, 10:25
Bonjour,
Je suis arrivé à :
-e^-1(Vn) < -1 + 1/n!
Mais après je bloque, je ne peux pas simplifier -e^-1 ?
Je suis arrivé à :
-e^-1(Vn) < -1 + 1/n!
Mais après je bloque, je ne peux pas simplifier -e^-1 ?
par Quidam » 28 Oct 2006, 11:11
[quote="chaperon-r0uge"]Bonjour,
Je suis arrivé à :
-e^-1(Vn) V_n > e - \frac{e}{n!}[/TEX]
)
Non ?
N'est-ce pas exactement ce que l'on te demandait de démontrer ?
Je suis arrivé à :
-e^-1(Vn) V_n > e - \frac{e}{n!}[/TEX]
N'est-ce pas exactement ce que l'on te demandait de démontrer ?
par chaperon-r0uge » 29 Oct 2006, 20:54
Merci pour votre réponse !
*(un peu longue à répondre mais problème d'internet !)
Sinon après il fallait montrer que:
0
Voici ce que j'ai fais:
e>Vn>e(1- 1/n!)
-e<-Vn<-[e(1 - 1/n!)]
0
Mais je n'arrive pas à:
0< e- Vn< 3/n!
Erreur de ma part ou de l'énoncé ?
Par la suite on me demande de teminer n0 tel que, pour n>n0, e-Vn<10^-4
Et là je ne sais pas quoi utiliser comme méthode.
Une aide serait la bienvenue.
Merci d'avance.
*(un peu longue à répondre mais problème d'internet !)
Sinon après il fallait montrer que:
0
Voici ce que j'ai fais:
e>Vn>e(1- 1/n!)
-e<-Vn<-[e(1 - 1/n!)]
0
Mais je n'arrive pas à:
0< e- Vn< 3/n!
Erreur de ma part ou de l'énoncé ?
Par la suite on me demande de teminer n0 tel que, pour n>n0, e-Vn<10^-4
Et là je ne sais pas quoi utiliser comme méthode.
Une aide serait la bienvenue.
Merci d'avance.
par Quidam » 29 Oct 2006, 21:30
chaperon-r0uge a écrit:0<e- Vn< e/n!
Mais je n'arrive pas à:
0< e- Vn< 3/n!
Erreur de ma part ou de l'énoncé ?
Tu connais la valeur de e ? e = 2.718281828... < 3
Donc e-Vn < e/n! < 3/n!
Ben voilà !
par chaperon-r0uge » 01 Nov 2006, 18:49
Bonsoir.
Merci pour votre réponse.
Une dernière chose
On me demande de détemriner n0 tel que pour tout n>n0, e-Vn<10^-4.
Or précédement on a vu que:
0
donc il faut que détemriner n0 tel que 3/n!<10^-4
soit n!<30000
or n!=1*2*...*n(n-1)
donc on doit résoudre n(n-1)<30000 ?
Merci pour votre réponse.
Une dernière chose
On me demande de détemriner n0 tel que pour tout n>n0, e-Vn<10^-4.
Or précédement on a vu que:
0
donc il faut que détemriner n0 tel que 3/n!<10^-4
soit n!<30000
or n!=1*2*...*n(n-1)
donc on doit résoudre n(n-1)<30000 ?
par Quidam » 01 Nov 2006, 19:46
[quote="chaperon-r0uge"]
Or précédement on a vu que:
0n0, alors l'inégalité e-Vnn0 ---> (3/n!) n0 ---> e-Vn n0 ---> (3/n!) 30000 ?"
Encore une fois, ce n'est pas une "obligation". Puisque n! >= n(n-1), dès que n>3, il suffit effectivement que n(n-1)>30000 pour que n! le soit également ! Mais si tu veux minorer n! par n(n-1), (pourquoi pas !), tu peux aussi le minorer par n !
Effectivement 30000! > 30000, c'est encore plus simple ! Mais n! croit vers l'infini beaucoup beaucoup plus vite que n, et aussi beaucoup plus vite que n(n-1). Déjà 10! > 3000000 ; en quelques essais, tu trouveras facilement la première valeur de n telle que n!>30000
Et cela suffira à résoudre ton problème !
Or précédement on a vu que:
0n0, alors l'inégalité e-Vnn0 ---> (3/n!) n0 ---> e-Vn n0 ---> (3/n!) 30000 ?"
Encore une fois, ce n'est pas une "obligation". Puisque n! >= n(n-1), dès que n>3, il suffit effectivement que n(n-1)>30000 pour que n! le soit également ! Mais si tu veux minorer n! par n(n-1), (pourquoi pas !), tu peux aussi le minorer par n !
Effectivement 30000! > 30000, c'est encore plus simple ! Mais n! croit vers l'infini beaucoup beaucoup plus vite que n, et aussi beaucoup plus vite que n(n-1). Déjà 10! > 3000000 ; en quelques essais, tu trouveras facilement la première valeur de n telle que n!>30000
Et cela suffira à résoudre ton problème !
par chaperon-r0uge » 01 Nov 2006, 22:09
Merci pour votre réponse.
Alors en faisant plusieur essais j'arrive à:
Pour n=8 on a n!>30 000
mais si n0=8 cela ne marche pas, je n'arrive pas à retrouver e-Vn<10^-4.
Alors en faisant plusieur essais j'arrive à:
Pour n=8 on a n!>30 000
mais si n0=8 cela ne marche pas, je n'arrive pas à retrouver e-Vn<10^-4.
par Quidam » 02 Nov 2006, 00:17
[quote="chaperon-r0uge"]Merci pour votre réponse.
Alors en faisant plusieur essais j'arrive à:
Pour n=8 on a n!>30 000
mais si n0=8 cela ne marche pas, je n'arrive pas à retrouver e-Vn8 ---> n! > 30000, c'est fini ! Tu n'as plus rien à faire puisque tu as déjà démontré que e-Vn < 3/n!, et en particulier, que e-V8 < 3/8!
Si tu veux, tu peux calculer V8, mais ce n'est pas demandé :
V8 = 1 + 1/1! + 1/2!+ 1/3!+ 1/4!+ 1/5!+ 1/6!+ 1/7!+ 1/8!
Avec ta calculatrice, tu calcule e et tu calcules e-V8. Tu vérifiera que e-V8 < 0.0001
Alors en faisant plusieur essais j'arrive à:
Pour n=8 on a n!>30 000
mais si n0=8 cela ne marche pas, je n'arrive pas à retrouver e-Vn8 ---> n! > 30000, c'est fini ! Tu n'as plus rien à faire puisque tu as déjà démontré que e-Vn < 3/n!, et en particulier, que e-V8 < 3/8!
Si tu veux, tu peux calculer V8, mais ce n'est pas demandé :
V8 = 1 + 1/1! + 1/2!+ 1/3!+ 1/4!+ 1/5!+ 1/6!+ 1/7!+ 1/8!
Avec ta calculatrice, tu calcule e et tu calcules e-V8. Tu vérifiera que e-V8 < 0.0001
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