Fonction exponentielle

[colita]

Bonsoir, vous pouvez m'aider pour cette exercice. Merci d'avance

On définit la fonction h telle que pour tout x reel h(x)=(1/e^x)+ex
sa dérivé est h'(x)=e^(x+1)-1/e^x
1)établir le tableau de variation de h (sans oublier le calcul de h(-1))
2) En deduire le signe de h

[Rockleader]

Commence par étudier le signe de h'.

[colita]

Commence par étudier le signe de h'.

Comment on fait pour etudier e^(x+1)-1

[Rockleader]

Comment on fait pour etudier e^(x+1)-1

Cherche quand est ce que e^(x+1) -1 = 0

[colita]

On doit le resoudre ? désolé je comprend pas trop

[Rockleader]

On doit le resoudre ? désolé je comprend pas trop

Tu cherche le signe de e^(x+1)-1/e^x


Une première étape consiste à se demander quand est ce que

e^(x+1)-1/e^x = 0

Or tu sais qu'un dénominateur ne peut jamais être égal à 0

Donc tu cherches en réalité à résoudre pour quel x on a

e^(x+1)-1 = 0

Comment ferais tu pour résoudre ça ?

[colita]

e^(x+1)-e^0=e^1
x+1-1=0
donc x=0
c'est correct

[Rockleader]

e^(x+1)-e^0=e^1
x+1-1=0
donc x=0
c'est correct

Il est vrai que e^0 = 1 et que tu peux le remplacer, mais e^1 lui ne vaut pas 0...

Je t'invite à garder les termes du début

e^(x+1)-1 = 0

Il n'y a rien de bien compliqué.

Si tu pose U= e^(x+1)

Alors on a U-1 = 0

Que vaut U ?

Remplace alors U par la valeur qu'on a noté.

ET enfin que vaut x ?

[colita]

Il est vrai que e^0 = 1 et que tu peux le remplacer, mais e^1 lui ne vaut pas 0...

Je t'invite à garder les termes du début

e^(x+1)-1 = 0

Il n'y a rien de bien compliqué.

Si tu pose U= e^(x+1)

Alors on a U-1 = 0

Que vaut U ?

Remplace alors U par la valeur qu'on a noté.

ET enfin que vaut x ?

donc U-1=0
U=1
donc e^x+1=1
x= 1-1 = 0

[Rockleader]

donc U-1=0
U=1
donc e^x+1=1
x= 1-1 = 0

TU as compris je pense même si tu ne t'exprimes pas bien.

Effectivement

e^x+1 = 1

Et tu sais que e^0 = 1

TU cherche donc x+1 = 0 ET donc x = -1 et non x =-1+1


TU as donc trouvé quand est ce que ton numérateur était nul, maintenant résonné logiquement afin de savoir quelles valeur va prendre le numérateur pour un x supérieur et inférieur à -1

[colita]

donc on fait un tableau de signe
-inf -1 +inf
e^(x+1)-1 + 0 -
e^x + +
h'(x) + 0 -
c'est correct ?

[Rockleader]

Une petite indication : la fonction exp est défini sur R+, tu as donc trouver la valeur de x tel que l'on ait e^0, ce qui veut dire que pour un x inférieur la fonction tendra toujours vers 0


Pour la valeur positive c'est trivial.


PS: je n'ai pas compris ton post précédent, exprime plutot en disant


sur l'intervalle ]-inf;-1[ h ' est ... et sur ]-1;+inf[ h' est...

[colita]

donc je doit faire quoi ? je n'ai pas trop compris

[Rockleader]

donc je doit faire quoi ? je n'ai pas trop compris

TU dois terminer de déterminer le signe de h', tu as fait le plus dur.

Regarde que vaut h' pour un x supérieur à -1 et pour un x inférieur à -1.

[colita]

pour l'interval ]-inf;-1] e^(x+1)-1 et positif et sur linterval ]-1;+inf[ e^(x+1)-1 est négatif
puis sur]-inf;-1] et ]-1;+inf[ e^x est positif
Donc h'(x) est positif sur ]-inf;-1] et négatif sur ]-1;+inf[
c'est correct ?

[Rockleader]

pour l'interval ]-inf;-1] e^(x+1)-1 et positif et sur linterval ]-1;+inf[ e^(x+1)-1 est négatif
puis sur]-inf;-1] et ]-1;+inf[ e^x est positif
Donc h'(x) est positif sur ]-inf;-1] et négatif sur ]-1;+inf[
c'est correct ?

Non c'est faux, si tu n'arrives pas à le voir, calcule tout simplement avec une valeur x supérieur à -1 et inférieure.

Si tu prend x=0
donc dans -1;+inf
e^(x+1) - 1 = e^(0+1)-1 = e^1 -1 Or tu sais que exponentielle est croissante et que e^0 vaut 1, donc e^1 est obligatoirement supérieur à 1. Donc e^(x+1)-1 est positif sur ]-1;+inf[


Je te laisse faire pareil avec l'autre intervalle en prenant une valeur inférieure à -1 si tu ne vois pas par toi même.

[colita]

x=-2
donc e^(x+1)-1=e^(-2+1)-1=e^(-1)-1=-2
donc on en deduit que e^(x+1)-1 est negatif sur ]-inf;-1[
C'est ça ?

[Rockleader]

x=-2
donc e^(x+1)-1=e^(-2+1)-1=e^(-1)-1=-2
donc on en deduit que e^(x+1)-1 est negatif sur ]-inf;-1[
C'est ça ?

Selon toi e^(-1) = -1 ?

Pourrais tu me rappeler le domaine de définition de la fonction exponentielle ? Autrement dit, Quand x tend vers -oo, vers quoi va tendre e^x

[colita]

le domaine de definition de la fonction exponentielle est R+ elle est toujours croissante

[Rockleader]

le domaine de definition de la fonction exponentielle est R+ elle est toujours croissante

Donc tu seras d'accord avec moi que lorsque tu me dis que sur un intervalle c'est négatif il y a un soucis vu que l'exponentielle ne prend que des valeurs positives !