Factoriser un polynôme n'ayant pas de racines réelles

[Olympus]

Bonjour !

Voulant m'améliorer un peu en factorisation de polynômes, comment feriez-vous pour factoriser un tel polynôme ?



Y en a qui vont commencer par faire la division euclidienne par , mais comment trouver ce dernier polynôme lui aussi ?

En général, quels sont les techniques ( même hors-programme, je m'en fou aussi ) pour factoriser des polynômes n'ayant pas de racines réelles ( ou dont les racines ne sont pas évidentes ou trop compliquées à trouver ) ? On joue au loto et on devine un polynôme comme pour le dernier ?

Un peu dommage qu'Animath ne traite pas des polynômes :triste: .

Merci !

[Timothé Lefebvre]

Salut,

un polynôme n'ayant pas de racine réelle peut en avoir des complexes.

Par exemple, quelles sont les racines complexes de P(x)=x²+x+1 ?
A ce moment tu peux factoriser avec celle-ci.

Pour généraliser, un polynôme P défini dans un anneau commutatif K[X] est factorisable s'il possède des racines dans K.

[Takanez]

Je ne suis pas sur mais avec un changement de variable ..?
Avec X=x²

[Timothé Lefebvre]

Hum, pas besoin. Comment conclurais-tu ici ?

Recherchez le discriminant de ce polynôme pour en trouver les racines complexes.

[Takanez]

Je ne sais pas enfait, mais je me disait que pour factoriser P(x) ce qui nous genait c'était la puissance 8
Du coup en changeant de variable, l'expression serait simplifiée ...
Non ? :briques:

[Timothé Lefebvre]

Tu peux essayer mais tu ne tomberas sur rien de concluant.

[Olympus]

Euh à vrai dire, je n'ai aucune notion en nombres complexes ( mais je lirais quelques docs sur le sujet ) .

Mais si je comprends bien, en trouvant les racines complexes de , je tomberais sur l'expression , c'est ça ?

[MathMoiCa]

Pour le hors programme : critère d'Eisenstein


M.

[Timothé Lefebvre]

Comment ça ? Qu'est-ce qui te permettrait, en ayant les racine du premier polynôme si on le considère défini dans C, de retomber sur ce second polynôme ?

[MathMoiCa]

Pour un truc plus abordable : règle des signes de Descartes.
En anglais ici : http://en.wikipedia.org/wiki/Descartes%27_rule_of_signs si t'as un problème de vocabulaire, demande ^^


M.

[Olympus]

Comment ça ? Qu'est-ce qui te permettrait, en ayant les racine du premier polynôme si on le considère défini dans C, de retomber sur ce second polynôme ?

Bien, c'était ma question alors, comment écrire le polynôme P sous la forme de produit de deux polynômes .

Wolfram Alpha et Zweig avaient donné : .

Mais comment trouver le polynôme ?

[Olympus]

Pour un truc plus abordable : règle des signes de Descartes.
En anglais ici : http://en.wikipedia.org/wiki/Descartes%27_rule_of_signs si t'as un problème de vocabulaire, demande ^^


M.

Merci pour le lien !

[MathMoiCa]

Nan mais Zweig, il n'est pas normal :ptdr: et wolfram alpha c'est un logiciel.


M.

[Olympus]

Je sais mais bon, moi lorsque j'avais cet exo dans les olympiades de Kénitra/Maroc, j'ai eu juste un gros coup de moule et j'ai tenté par tout hasard la division euclidienne par et hop j'ai eu la factorisation de .

Mais le problème c'est : et si je n'avais pas la chance de le deviner ? Comment trouver exactement le polynôme ?

[benekire2]

et bien, par identification. Tu pose

Et tu essaie ...

[Olympus]

J'ai trouvé le chapitre "Strategies for Factoring Polynomials over Z" ( p.84 sur le livre, ou p.104 sur l'ebook ) du livre "Polynomials" de E. J. Barbeau ( fichier .djvu retrouvable sur le net ) . Je vais voir si ça m'avancera un peu :)

[Olympus]

et bien, par identification. Tu pose

Et tu essaie ...

Et pourquoi justement le premier polynôme doit nécessairement être un polynôme du second degré ? Pourquoi pas deux polynôme du 4ème degré ? 3ème degré et 5ème degré etc... ?

[benekire2]

Et pourquoi justement le premier polynôme doit nécessairement être un polynôme du second degré ? Pourquoi pas deux polynôme du 4ème degré ? 3ème degré et 5ème degré etc... ?

Ouais c'est vrai, mais bon...

[Zweig]

Nan mais Zweig, il n'est pas normal :ptdr: et wolfram alpha c'est un logiciel.


M.

MERCI :zen:

Bon, voici mon raisonnement.

Rappel :

Soit un polynôme à coefficients entiers, avec . Alors , est racine de si et seulement si et (conséquence directe du lemme de Gauss)

Dans ce cas, , avec

Or, pour notre polynôme, via une disjonction de cas, on vérifie qu'il n'admet aucune racine rationnelle. Donc on ne peut le factoriser par une expression de degré 1. On essaie donc avec un polynôme de degré 2. On se cantonne (comme le riz) à des facteurs à coefficients entiers. On en déduit que s'il existe un facteur de degré 2, alors il est de la forme . Et dans ce cas, , avec . Puis une id de polynômes.

[Olympus]

MERCI :zen:

Bon, voici mon raisonnement.

Rappel :

Soit un polynôme à coefficients entiers, avec . Alors , est racine de si et seulement si et (conséquence directe du lemme de Gauss)

Dans ce cas, , avec

Or, pour notre polynôme, via une disjonction de cas, on vérifie qu'il n'admet aucune racine rationnelle. Donc on ne peut le factoriser par une expression de degré 1. On essaie donc avec un polynôme de degré 2. On se cantonne (comme le riz) à des facteurs à coefficients entiers. On en déduit que s'il existe un facteur de degré 2, alors il est de la forme . Et dans ce cas, , avec . Puis une id de polynômes.

Merci pour l'explication :we: