Factorisation à Problème !

[AllanPoe]

Bonjours à toutes et à tous

J'aimerais savoir si quelqu'un pourrait m'aider comprendre comment l'on peut passer de ça :

--> (-b^3+9b+a^3-9a)/(a-b)

A ce ci : a^2+ab+b^2-9

[Luc]

Bonjour,

Méthode 1: essaie de calculer (a-b)(a^2+ab+b^2-9), de simplifier et d'ordonner les termes obtenus pour voir si tu retombes sur le numérateur.

Méthode 2 : en partant de -b^3+9b+a^3-9a, on écrit -b^3+9b+a^3-9a = (a-b)(...a^2+...b^2+...ab+...a+...b+...) et on essaie de remplir les pointillés au fur et à mesure, en commençant toujours par les exposants les plus hauts. C'est la méthode de la division euclidienne.

Petite astuce : si tu fais a=b dans le numérateur, celui ci vaut 0. Il y a un théorème de maths qui te dit alors qu'automatiquement, tu peux factoriser par (a-b) et il n'y aura pas de reste, la division "tombe juste".

[chan79]

on peut aussi transformer le numérateur qui est égal à

(a³-b³)-9(a-b)=
(a-b)(a²+ab+b²)-9(a-b)

[Luc]

on peut aussi transformer le numérateur qui est égal à

(a³-b³)-9(a-b)=
(a-b)(a²+ab+b²)-9(a-b)

merci, c'était une troisième méthode que je cherchais sans parvenir à la trouver ^^

[AllanPoe]

Je ne comprends pas pourquoi (a^3-b^3)= (a-b)(a^2+ab+b^2) ?

[AllanPoe]

J'aime bien la première méthode mais comment je peux expliquer cette démarche dans mon DM ?

Je montre après une suite de calcul que j'ai ca :(-b^3+9b+a^3-9a)/(a-b)

Comment après je peux dire il me suiffit de multiplier le résultat recherché par le dénominateur pour savoir si c'est le même résultat ?

[Luc]

Je ne comprends pas pourquoi (a^3-b^3)= (a-b)(a^2+ab+b^2) ?

C'est une identité remarquable, un peu moins connue que ses petits camarades a^2-b^2=(a+b)(a-b) et (a+b)^2=a^2+b^2+2ab, mais utile à connaitre.

Tu peux la vérifier en développant (a-b)(a^2+ab+b^2), les termes croisés s'éliminent.

[AllanPoe]

C'est une identité remarquable, un peu moins connue que ses petits camarades a^2-b^2=(a+b)(a-b) et (a+b)^2=a^2+b^2+2ab, mais utile à connaitre.

Tu peux la vérifier en développant (a-b)(a^2+ab+b^2), les termes croisés s'éliminent.

Ahh tu veux dire :

(a^2+ab-b^2)/1 = (-b^3+9b+a^3-9a)/(a-b) ?
:ptdr:

[Luc]

Ahh tu veux dire :

(a^2+ab-b^2)/1 = (-b^3+9b+a^3-9a)/(a-b) ?
:ptdr:

Non, ça c'est faux.

Ce que je veux dire c'est

[AllanPoe]

Non, ça c'est faux.

Ce que je veux dire c'est

Oui mais quand tu parlais de termes croisé c'était pas ca ?

Genre si a/b=c/d
alors
axd = bxc

Donc comme je prouve que (a-b)(a^2+ab+b^2-9) = (a^3-b^3-9a+9b)x1

Alors je prouve que (a^2+ab+b^2-9) = (a^3-b^3-9a+9b)/(a-b)

Non ?

[AllanPoe]

Raaah je me suis embrouillé je sais plus mtn

bref est ce que ça c'est vrai : a/b=c/d alors axd = bxc ?

[Archibald]

Ben oui. D'un côté, la démonstration est triviale : tu multiplies chaque membre par d puis par c.

[Archytas]

Salut, je ne sais pas si la méthode à été proposée, je n'ai pas tout lu mais si tu es sûre qu'une expression admet un certain facteur (ici: a-b) tu peux factoriser terme à terme ton expression de départ.
Par exemple ici :

C'est vrai que c'est assez fastidieux mais ça a le mérite de toujours marcher. ça reste une méthode de dernier recour, celles explicitées plus bas sont bien plus efficaces !
Bien sûr le fait qu'il y ait deux variables a et b rend les choses plus compliquée mais avec une seule c'est beaucoup plus facile :
Si tu veux factoriser x²-3x+2 par x-2 :


Bon courage !

[AllanPoe]

Merci beaucoup !

[Luc]

Merci beaucoup !

Voilà, la méthode qu'a détaillée Archytas est la division euclidienne de par , avec toutes les étapes.