Facteurs premiers

[Neeb]

bonsoir à toutes et à tous !

j'ai un petit soucis, je suis en terminale s spe math et je suis tombé sur cet exo qui n'est hélas pas corrigé.
j'aimerais que vous me donniez un petit coup de pouce si possible !
voici l'énoncé :

Voici la factorisation en facteurs premiers de deux entiers :

920577797 = a^2 b^3 c , 10405103 = a^3 b c ,

où les facteurs a, b, c sont distincts. Trouver ces facteurs.

vu la grandeur des nombres il doit y avoir une manière fine, enfin intelligente de calculer ces facteurs... mais laquelle ???

Merci !

[Touriste]

Salut,

La somme de tes deux nombres est un multiple de 100. Donc est un multiple de 100. Or la décomposition en facteurs premiers de 100 est . Ni 5 ni 2 ne divise a, b et c. On peut donc en déduire que 100 divise . Peut-être que c'est un début de piste... Je continue à réfléchir...

[Neeb]

merci de ton attention, je vais tacher de poursuivre le travail que tu as commencé mais j'avoue être un peu dans le flou !

[Touriste]

En faisant par approximations, j'ai trouvé a=19, b=41 et c=37. Je cherche toujours une méthode pour le montrer élégamment !

[Neeb]

C'est vraiment très aimable à toi bien que je ne sois pas sur qu'une telle methode existe !

[Touriste]

Je ne trouve pas et je ne suis pas sûre non plus qu'une méthode élégante existe, alors je laisse béton...

[Neeb]

Merci tout de même, je suis content de voir qu'une personne comme toi ne parvient pas à trouver, ça me rassure ! alors merci ^^

[mln]

Bonsoir,
posons x = 920577797 = a^2 b^3 c
et y=10405103 = a^3 b c
pgcd(x, y) = 547637 (On le trouve grace a l'algorithme d'Euclide)
pgcd(x, y) = a^2 b c

x+y = pgcd(x,y)(b^2 + a)
x-y = pgcd(x,y)(b^2 - a)

(x+y)/pgcd(x,y) = b^2 + a
(x-y)/pgcd(x,y) = b^2 - a

On a un système à 2 équations à 2 inconnues. on en déduit a et b^2
puis b et enfin c.
a =19
b = 41
c = 37

Voili voilou