Exo intriguant

[XSilverX]

Mes salutations, je suis nouveau ici et me suis inscris en très grande partie pour un exercice spécial qui nécessite l'utilisation de la récurrence.Le voici: soient a1 et a2.......et an des nombres appartenant à l'intervalle ]0;+infini[ et n appartien à l'ensemble N* démontrer par récurrence que
a1xa2x............an<(a1+a2.....+an/n)puissance n .Voilà, j'ai vraiment besoin de votre aide (le plus tôt possible) et je remercie ceux qui auront l'amabilité de m'aider. S'il y a plusieurs méthodes, je prendrai plaisir à toutes les connaître.Plus il y aura d'opinions plus l'exercice prendra de l'ampleur et me paraîtra intéressant.(pour le signe < considérez le comme < ou égal)

[beagle]

effectivement intriguant!

2x3=6 doit ètre plus petit que 2+3/2 par exemple?

[XSilverX]

je donne un exemple comme ceci 1x2x3

[SaintAmand]

oui mais je me demande si le signe < est juste dans ce cas là ou s'il y a eu une

L'égalité est



C'est l'inégalité arithmético-géométrique, IAG pour les intimes.

[XSilverX]

je vois,donc le signe est juste. J'ai établi quelques modifications car l'endroit d'où j'ai pris l'exercice contenait certaines erreurs.

[SaintAmand]

Commence par la démontrer lorsque n est une puissance de 2. Cela se fait très bien par récurrence.

[XSilverX]

ok je ferai des essais, merci.

[XSilverX]

si l'on utilise l'exemple de 2 ou 3 ou un autre nombre et que cela s'avère juste (par récurrence), peut-on conclure que toute l'inéquation est juste ou est-ce-que l'exemple ne constitue qu'une étape pour arriver à la démontrer?

[Bony]

Une autre méthode consiste à utiliser certaines propriétés du logarithme

[SaintAmand]

si l'on utilise l'exemple de 2 ou 3 ou un autre nombre et que cela s'avère juste (par récurrence), peut-on conclure que toute l'inéquation est juste ou est-ce-que l'exemple ne constitue qu'une étape pour arriver à la démontrer?

Je ne comprends pas bien. Vérifier l'inégalité pour un n-uplet particulier ne te permet pas de conclure qu'elle est vraie pour tous les n-uplets de nombres positifs.

Démontre l'inégalité pour n=2. Ensuite démontre que si elle est vraie n=2^k alors elle est encore vraie pour n=2^(k+1) (l'hérédité).

[Jota Be]

si l'on utilise l'exemple de 2 ou 3 ou un autre nombre et que cela s'avère juste (par récurrence), peut-on conclure que toute l'inéquation est juste ou est-ce-que l'exemple ne constitue qu'une étape pour arriver à la démontrer?

Salut,
l'intérêt de la récurrence est justement que l'on puisse arriver à démontrer que la propriété se généralise pour tout naturel.
Même si tu vérifies un très grand nombre d'exemples, tu ne pourras jamais démontrer qu'une propriété est vraie pour tout n si seulement tu ne te bases qu'uniquement sur ces exemples.
Il te faut le prouver de manière algébrique en montrant que si une propriété est vraie au rang n, alors elle l'est aussi au rang n+1.
Je pense qu'il faille partir de la supposition : "a1a2...an<=((a1+a2+...+an)/n)^n" et trouver que "a1*a2...an*a(n+1)<=((a1+a2+...+an+a(n+1))/(n+1))^(n+1)", enfin c'est expliqué en anglais sur cette page http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means

[XSilverX]

merci à tous pour votre aide.