Exercices droites

[Rana Viridis]

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour cet exercice :
Trois droites D1, D2 et D3 son parallèles entre elles. La droite D2 est située entre les 2 autres, à 13 cm de D1 et à 31 cm de D3. Déterminer l'aire, en cm carrés, d'un carré dont chacune de ces 3 droites contient un sommet.

[Pseuda]

Bonsoir,

As-tu fait une figure ?

Soit A le sommet du carré appartenant à la droite D2. Observe les angles formés par les 2 côtés du carré de sommet A, l'un avec la droite D2, et l'autre avec la perpendiculaire en A à la droite D2.

Que peux-tu dire de ces 2 angles ?

Quand tu auras répondu à cette question, interroge-toi sur le sinus d'un angle et le cosinus de l'autre angle, en les exprimant à l'aide du côté du carré.

[Rana Viridis]

Justement je n'ai pas réussi à "visualiser" de figure car je ne vois pas comment chacune des droites peut contenir un sommet du carré ?

[Pseuda]

Sais-tu construire l'image d'une droite par une rotation ? Je suppose que non (ce n'est plus au programme du collège-lycée).

Donc, dessine les 3 droites, d'abord D2, puis D1 et D3. Place un point A sur la droite D2. Et arrange-toi pour placer 2 points, B sur D1 et C sur D3, de telle façon que l'angle BAC forme un angle droit et que AB=AC (fais une figure approximative).

Il ne reste plus qu'à rajouter le 4ème sommet pour former le carré. Ce 4ème sommet n'appartient à aucune des 3 droites.

[Rana Viridis]

J'ai réalisé ce schéma, est-ce les bons angles que j'ai identifiés comme dans votre explication ? Que doit-on remarquer sur eux ?

[Pseuda]

Bonjour,

C'est bien ça. Maintenant, tu peux comparer ces 2 angles : sont-ils égaux ? et pourquoi ?

Ensuite, soit a la longueur du côté du carré. Tu peux exprimer le sinus de l'angle A entre D1 et D2, et le cosinus de l'angle A entre D2 et D3 (mets des points pour matérialiser), en fonction de a, 13 et 31.

Tu peux utiliser une relation pour calculer a.

[Rana Viridis]

Bonsoir,
Si je rajoute le point D plus loin vers la droite sur D2,
J'ai trouvé sinBAD=13/a et cos DAC=31/a
Donc a=13/sinBAD=31/sinDAC
Grâce à la relation cos²x+sin²x=1 (puisque les 2 angles ont la même mesure),
J'ai calculé que a²=1130. Est-ce que je devais aboutir à ce résultat ?

[Pseuda]

Bonjour,

Ok, c'est bien ça !

On peut construire exactement le carré en utilisant la rotation de centre A et d'angle : cela permet d'obtenir C = intersection de D3 et de l'image de D1 par cette rotation.

Tu peux le faire en construisant le petit carré de côté 13 et de sommet A, qui a 2 côtés sur D1 et D3, et en baissant sur D3 le sommet de ce carré situé sur D1, perpendiculairement à D2 : tu obtiens C ; il ne reste plus qu'à construire B et D (facile).

Une image vaut mieux qu'un long discours, mais je n'arrive pas (pour l'instant) à insérer une image .png (trop grosse).