Exercice théorique sur les fonctions

[Bertrand Hamant]

Bonsoir

Cet exercice est très théorique et j'aimerais vos confimartions merci

Soit b un nombre réel strictement positif

1) Exprimer en fonction de b, un nombre A1, tel que, pour tout nombre réel x strictement supérieur à A1, on ait 1/x < b

1/x < b ----> x > 1/b, d'après l'énoncé x > A1 ainsi en posant 1/b = A1

on a donc 1/x < 1/A1 soit 1/x < b est ce correcte ?

2 Exprimer en fonction de b un nombre A2, tel que pour tout nombre réel x supérieur à A2, on ait 1 / 2x + 1 < b

1/2x+1 < b -----> 2x+1 > 1/b or dans l'énocé x > A2

donc x > 1/2b - 1/2 en posant A2 = 1/2b - 1/2

on a donc x > A2 soit 2x+1 > 2A2 + 1 -----> 2x+1 > 1/b soit donc

1/2x+1 < b est ce correcte merci ?

3) soit f une fonction définie sur l'intervalle ] 0 ; + 00 [ telle que, pour tout x de cet intervalle, on ait

-1/2x+1 < f(x) < 1/x

a) Proposer un nombre réel A, à exprimer en fonction de b, tel que, pour tout nombre réel x positif supérieur ou égal à A, on fait f(x) appartenant à ]-b ; b [

cela veut dire que -b < f(x) < b je ne vois pas comment exprimer

Quelle propriété de la fonction f est démontrée à la question a ?

je dirais la limite est ce juste ?

proposer une autre justification de cette proriété de la fonction f à l'aide d'un théorème figurant au porgramme de terminale S

je dirais le théorème des gendarmes est ce juste

énoncons ainsi le théorème

merci de me dire si je suis sur la bonne voie et de m'éclaircer

[becirj]

Bonsoir
D'accord pour les questions 1 et 2.
Pour la question 3, pour que la double inégalité soit remplie, il suffit que
Pour l'autre justification, tu as raison, c'est le théorème des gendarmes.

[Bertrand Hamant]

par conséquent pour -b < f(x) < b

on a donc -1/ 2 A2 + 1 < f(x) < 1 / A 1


est ce correcte d'après les questions préliminaires ?

[becirj]

Ton inégalité ne répond pas à la question (et il y a une erreur dans le calcul), on te demande A en fonction de b.
Dans la question 1, on a ; dans la question 2, on a . On peut remarquer que donc on prend

(Dans ce genre d'exercice, on travaille par conditions suffisantes donc il ne faut pas chercher à écrire des équivalences)

[Bertrand Hamant]

oui j'ai juste à remplacer


ce qui me donne - 1 / 2A + 1 < f(x) < 1 / A


n'est ce pas en posant A = 1/b on a donc 1/A = b

[Bertrand Hamant]

c juste alors ?