Exercice sur les logarithme néperien

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Claraa
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exercice sur les logarithme néperien

par Claraa » 07 Nov 2012, 14:13

Bonjours tout le monde!
Voici un devoir maison à faire, que je n'arrive pas, si vous pouvez me donner un petit coup de main:

1_ g est la fonction définie sur )0; + infinie( par:
g(x)= ln x +2x²-3

a) déterminer l'expression de g'(x) pour tout nombre réel x>0
b) étudier le sens de variation de g
c) Prouver que l'équation g(x)=0 admet une unique solution alpha dans l'intervalle (1;2) déterminer une valeur approchée alpha à 10-² près.
d) étudier le signe de g(x) suivant les valeurs de x

2_ f est la fonction définie sur )0;+infinie( par:
f(x)=2/x - ln x / x +2x -5

a) vérifier que pour tout x >0, f'(x)= g(x) /x²
b) en deduire le sens de variation de f

Merci d'avance si vous pouvez m'aider :) !!



Manny06
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par Manny06 » 07 Nov 2012, 15:54

Claraa a écrit:Bonjours tout le monde!
Voici un devoir maison à faire, que je n'arrive pas, si vous pouvez me donner un petit coup de main:

1_ g est la fonction définie sur )0; + infinie( par:
g(x)= ln x +2x²-3

a) déterminer l'expression de g'(x) pour tout nombre réel x>0
b) étudier le sens de variation de g
c) Prouver que l'équation g(x)=0 admet une unique solution alpha dans l'intervalle (1;2) déterminer une valeur approchée alpha à 10-² près.
d) étudier le signe de g(x) suivant les valeurs de x

2_ f est la fonction définie sur )0;+infinie( par:
f(x)=2/x - ln x / x +2x -5

a) vérifier que pour tout x >0, f'(x)= g(x) /x²
b) en deduire le sens de variation de f

Merci d'avance si vous pouvez m'aider :) !!

calcule d'abord g'(x)

Claraa
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par Claraa » 07 Nov 2012, 20:47

g'(x)= ln 1/x +4x

C'est bon?

Manny06
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par Manny06 » 07 Nov 2012, 20:51

Claraa a écrit:g'(x)= ln 1/x +4x

C'est bon?

non
la derivée de lnx est 1/x

Claraa
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par Claraa » 08 Nov 2012, 00:08

donc ca ferais g'(x)=1/x +4
?

annick
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par annick » 08 Nov 2012, 00:38

Oh ! Quelle est la dérivée de 2x² ?

Claraa
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par Claraa » 08 Nov 2012, 00:59

2x² = 2 x 2x = 4x

annick
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par annick » 08 Nov 2012, 01:13

Oui, donc g'(x)=g'(x)=1/x +4x=(4x²+1)/x

Claraa
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par Claraa » 08 Nov 2012, 01:53

g'(x)=1/x +4x=(4x²+1)/x

donc comment fait on pour trouver ensuite le sens de variation de x? Le x² me bloque..

Manny06
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par Manny06 » 08 Nov 2012, 11:12

Claraa a écrit:g'(x)=1/x +4x=(4x²+1)/x

donc comment fait on pour trouver ensuite le sens de variation de x? Le x² me bloque..

1+4x²>0 et sur R+* x>0 conclusion ?

Claraa
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par Claraa » 08 Nov 2012, 13:43

g'(x)=1/x +4x=(4x²+1)/x

je me suis tromper: comment fait on pour trouver ensuite le sens de variation de g? Le x² me bloque..

1+4x²>0 et sur R+* x>0 conclusion ?
le " * " signifie quoi?

annick
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par annick » 08 Nov 2012, 13:49

g'(x) est un produit de facteurs qui sont tous les deux positifs sur le domaine d'étude donné.
On applique la règle des signes et cela signifie que g'(x) est positif sur ce domaine.
Si g'(x) est positif, alors la fonction g(x) est uniformément croissante sur ce domaine.

Au fait, le "*" signifie R+ privé de 0

Claraa
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par Claraa » 08 Nov 2012, 13:57

donc le tableau de variation serai

x - linfini ? ? + linfini

g'(x) +
g(x) croissante

Claraa
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par Claraa » 08 Nov 2012, 13:57

mon tableau a mal été envoyer

annick
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par annick » 08 Nov 2012, 13:59

C'est à peu près ça, mais sur ta première ligne de x, tu ne vas que de 0( avec une double barre car il est exclus) à +00.
C'est ce qui t'était donné dans ton énoncé par "g est la fonction définie sur )0; + infinie("

Claraa
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par Claraa » 08 Nov 2012, 14:08

donc à la place de - linfini on met 0?
Et entre 0 et + l'infinie on ne met pas de chiffre, sur la ligne du x?

annick
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par annick » 08 Nov 2012, 14:11

C'est ça.
mais je me demande si tu comprends vraiment bien ce que tu es en train de faire et pourquoi tu le fais.
Si ce n'est pas le cas, il faudrait peut-être que tu reprennes ton cours sur les études de fonctions et que tu revoies tranquillement ce qui a été fait depuis le début de ton travail avec nous pour que tu aies une bonne vue d'ensemble.

Claraa
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par Claraa » 08 Nov 2012, 14:15

si je comprend a peu près ce qu'on fais, j'ai juste besoin d'aide pour le faire cette exercice entierement, c'est que je trouve que la formule est dur pour ensuite faire un tableau de variation

annick
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par annick » 08 Nov 2012, 14:20

Pourtant, ce n'est pas très dur, dans la mesure où tes deux facteurs sont positifs. Tu n'as même pas d'étude de signe à faire, pratiquement.
Par contre, il ne faut pas que tu te laisses impressionner par une formule qui te parait compliquée, comme ça.
Parfois, il suffit de ne pas stresser et on s'aperçoit que c'est beaucoup plus facile que ce que l'on pensait au départ.

Claraa
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par Claraa » 08 Nov 2012, 18:35

je pensais qu'entre o et +linfinis il fallais mettre un chiffre

Pour le c) pour trouver x il faut faire delta ? la fraction m'embête..


j'ai quand même calculer la suite et j'ai trouver que sur (1;2) f est continue et strictement positif
f(1)=-6<0
f(2)=5.7>0
d'après le théorème de bijection il existe un unique alpha appartient (1;2)
tel que f(alpha)=0

 

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