Exercice sur les fonctions ( avec cos) TS

[tite_prune]

Bonjour!
J'ai un problème avec un exercice de maths et j'aimerais bien que quelqu'un m'aide
J'ai deja avancé dans l'exercice mais il reste des question où je bloque

voici l'énoncé:
Dans cet exercice , on se propose de résoudre, dans l'intervalle [0;+ [, l'équation (E) : cosx=x².
On note f la fonction definie sur [0;+ [ par f(x)=x²-cosx
1)Justifier que , pour tout x> , f(x) est strictement positif. Que peut on en déduire pour l'équation E?
-->la je pensais dire que x² est toujours positif et que -cosx=cos(+x) c'est donc un nombre positif car si x> x+>0 et positif
donc j'aimerai savoir si c'est juste.
2)Calculer f'(x) et f''(x) pour tout x 0
-->donc la j'ai f'(x)=2x-(-sinx)=2x+sinx
et f''(x) je sais pas si je dois calculer la dérivée de la dérivée ^^ enfin je pense que si donc ca donnerait
f''(x)=2+cosx
j'aimerai savoir si c'est juste
3)Determiner le sens de variation de f' sur [0;]
-->la je vois pas trop comment faire mais je pense quand meme qu'elle est positive et croissante sur cet intervalle mais je saurais pas le demontrer
4)Calculer f'(0).En deduire le signe de f'(x) sur [0;] , puis le sens de variation de f sur cet intervalle
-->j'ai f'(0)=2X0+sin(0)=0. Je vois pas comment faire le reste de la question après.
5)Démontrer que (E) possède une solution unique sur [0;] et donner une valeur approchée par excès de a près.

merci d'avance a celui ou celle qui voudra bien m'aider

[Mortelune]

Bonjour,

Dans cet exercice , on se propose de résoudre, dans l'intervalle [0;+ [, l'équation (E) : cosx=x².
On note f la fonction definie sur [0;+ [ par f(x)=x²-cosx
1)Justifier que , pour tout x> , f(x) est strictement positif. Que peut on en déduire pour l'équation E?
-->la je pensais dire que x² est toujours positif et que -cosx=cos(+x) c'est donc un nombre positif car si x> x+>0 et positif
donc j'aimerai savoir si c'est juste.

C'est plus simple que ça en fait on cherche à résoudre cosx=x² et on a f(x)=x²-cosx >0 sur l'intervalle considéré.

2)Calculer f'(x) et f''(x) pour tout x 0
-->donc la j'ai f'(x)=2x-(-sinx)=2x+sinx
et f''(x) je sais pas si je dois calculer la dérivée de la dérivée ^^ enfin je pense que si donc ca donnerait
f''(x)=2+cosx
j'aimerai savoir si c'est juste

Là c'est bon, f" est bien la fonction f dérivée 2 fois donc (f')'.

3)Déterminer le sens de variation de f' sur [0;]
-->la je vois pas trop comment faire mais je pense quand meme qu'elle est positive et croissante sur cet intervalle mais je saurais pas le demontrer

Il va sans doute aussi falloir utiliser f" pour cette question.

4)Calculer f'(0).En deduire le signe de f'(x) sur [0;] , puis le sens de variation de f sur cet intervalle
-->j'ai f'(0)=2X0+sin(0)=0. Je vois pas comment faire le reste de la question après.

Tu as le sens de variation à la question précédente donc selon la croissance ou la décroissance par rapport à 0 on peu en déduire quelque chose d'intéressant pour le signe de f'.

[/quote]5)Démontrer que (E) possède une solution unique sur [0;] et donner une valeur approchée par excès de a près.[/quote]
Le théorème des valeurs intermédiaires

[sxmwoody]

vue sommaire: la dérivé seconde (positive sur l'intervalle donné) , vous indique que la dérivé première est monotone croissante. Il suffit alors de considérer la fonction f'(x) et de voir alors son signe ...Vous en déduirez alors , le sens de variation de f(x).
méthode souvent utilisée quand on ne peut mettre en facteur...