Exercice sur les fonctions 1èreS

[jpclam]

Bonjour,

Mon professeur de mathématiques m'a donné un dm à faire pour la rentrée qui est le suivant :

Dans un repère orthonormé (O ; I , J), on considère P la courbe représentative de la fonction carrée définie sur [0, +infini] et C la courbe représentative de la fonction racine carrée.

1) Montrer que, pour tout réels x et y, les points M(x;y) et M'(y;x) sont symétriques par rapport à la droite delta d'équation y = x.

2) Montrer que : M(x ; y) appartient à C équivaut M' (y ; x) appartient à P.

3) Que peut-on en déduire des courbes P et C ?

J'ai déja essayé de résoudre la première question que j'ai divisé en plusieurs questions : Je sais qu'il faut que je montre que OM = OM' (O étant le point que j'ai placé sur le segment qui relie M et M' à l'endroit où la droite d'équation delta le coupe).

Ensuite, il faut prouver que le milieu du segment [MM'] appartient à delta et pour finir que je déduise que les points M et M' sont symétriques par rapport à la droite delta.

Mais je ne sais pas comment je peux prouver tout ca, sachant que ma prof nous demande une rédaction HYPER soignée.. Merci de m'aider !!!

[messinmaisoui]

Rédaction hyper soignée :doh:
Voici mes indications, c'est une façon de voir, il en existe d'autres :dodo:

1) Montrer que, pour tout réels x et y, les points M(x;y) et M'(y;x) sont symétriques par rapport à la droite delta d'équation y = x.

On peut aussi montrer que le milieu de [M,M'] appartient à la droite y=x ?

2) Montrer que : M(x ; y) appartient à C équivaut M' (y ; x) appartient à P.

sur [0, +infini]
M'(y, x) appartient à P sachant que P(x) = x² alors M'(y,x) peut s'écrire M'(x²,x) non ?
M(x, y) appartient à C ...

Y a t'il une relation entre vecteur(OM) et vecteur(OM') ?

[jpclam]

Et oui.. :triste:

Je pense comprendre ce qu'il faut faire mais je m'explique : ma prof nous donne en général les dm avant d'avoir vu la leçon pour évaluer notre "logique" en mathématiques et aussi pour nous faire avancer. Donc je ne me rappelle plus comment on montre qu'un milieu d'un segment appartient à une droite et pour les vecteurs, c'est encore pire..

Dans le 2), si je nomme la première équivalence (P) et la deuxième (Q), que je montre que (P) implique (Q) et que (Q) implique (P) et que donc (P) équivaut (Q), ça va ?

[messinmaisoui]

Donc je ne me rappelle plus comment on montre qu'un milieu d'un segment appartient à une droite et pour les vecteurs, c'est encore pire..

Et bien pour se rappeler, prendre un crayon + papier et réfléchir 2 secondes ...
Prenons un exemple A(2,3) et B(-1,5)
Le milieu M de [AB] est tel que vecteur(AM) = vecteur(MB)
et en utilsant les relations de chasles vecteur(AM) = vecteur(OM) - vecteur (OA)
et on arrive à vecteur(OM) = (vecteur (OA) + vecteur (OB)) / 2
ainsi dans notre cas M((2-1)/2,(3+5)/2) soir M(1/2, 4)
est-ce que M appartient à la droite y= x ... non car 4 1/2
est-ce que M appartient à cette droite y= 7x + 1/2 ... oui car 4 = 7 X (1/2) + 1/2
...

Dans le 2), si je nomme la première équivalence (P) et la deuxième (Q), que je montre que (P) implique (Q) et que (Q) implique (P) et que donc (P) équivaut (Q), ça va ?

Oui d'accord mais cela ne nous mène pas loin :hein:
donc déjà résoudre la question 1) et on verra après la suite ...

[jpclam]

Alors j'utilise la relation de chasles :

J'ai donc le segment [M'M] et je nomme le milieu O. Je prends les coordonnées suivantes : M' (2;4) et M (4;2).

Soit O le milieu du segment [M'M], les coordonnées de O sont telles que :
O = (xM + xM'/2 ; yM + yM'/2)
= (2 + 4 / 2 ; 4 + 2 / 2 )
= (4 ; 4)
Ainsi O a pour coordonnées (4 ; 4) et donc il appartient à la droite d'équation y = x car 4 = 4.

C'est juste ?

[messinmaisoui]

Non,attention aux ()

[messinmaisoui]

Non,attention aux ()

ensuite essaye avec M(x ; y) et M' (y ; x)

[jpclam]

Elles ont quoi mes parenthèses..?

Alors comme ça ?

Le milieu O de [MM'] a pour coordonnés : O(xO;yO) avec
xO=(xM+xM')/2=(x+y)/2 et yO=(yM+yM')/2=(y+x)/2

donc yO=xO

donc O appartient à la droite y=x.

[messinmaisoui]

Presque !
O (choisir une autre lettre dans la rédaction
car O c'est souvent l'origine du repère)
a comme coordonnées ((x+y)/2 , (y+x)/2)
et ce O appartient à la droite y=x
car ses coordonnées ((x+y)/2 , (y+x)/2) vérifient l'équation y=x
en effet : (y+x)/2 = (x+y)/2

[jpclam]

D'accord !

Et donc pour la deuxième question, lorsque vous dites :

sur [0, +infini]
M'(y, x) appartient à P <=> sachant que P(x) = x² alors M'(y,x) peut s'écrire M'(x²,x) non ?
M(x, y) appartient à C <=> ...

C'est ça :

sur [0, +infini]
M'(y, x) appartient à P <=> sachant que P(x) = x² alors M'(y,x) peut s'écrire M'(x²,x) non ?
M(x, y) appartient à C <=> sachant que C(x) = racine de x alors M(x,y) peut s'écrire M(x, racine de x)

?

[messinmaisoui]

Oui maintenant
quel est le lien entre M'(x²,x) et M(x, racine de x)

ex : calcule le vecteur(OM') et vecteur(OM) pour x = 4, pour x = 9
Peut on trouver une relation entre vecteur(OM') et vecteur(OM) ?

[jpclam]

Je dois calculer les coordonnées du vecteur (OM') et celles du vecteur (OM) avec x = 4 puis avec x = 9 ? Parce que si c'est ça je me retrouve coincée..

Et la relation c'est celle de chasles avec vecteur (OM') + vecteur (OM) = vecteur (M'M) ??

[messinmaisoui]

Je dois calculer les coordonnées du vecteur (OM') et celles du vecteur (OM) avec x = 4 puis avec x = 9 ? Parce que si c'est ça je me retrouve coincée..

Et la relation c'est celle de chasles avec vecteur (OM') + vecteur (OM) = vecteur (M'M) ??

J'essaye de te faire avancer en prenant des exemples
quel est le lien entre M'(x²,x) et M(x, racine de x)

pour x = 4
M'(4²,4) soit M'(16,4)
M(4, racine de 4) soit M(4,2)
on voit que vecteur(OM') = 4 X vecteur(OM)

pour x = 9
M'(9²,9) soit M'(81,9)
M(9, racine de 9) soit M(9,3)
on voit que vecteur(OM') = 9 X vecteur(OM)

le but (enfin une façon de faire pour répondre à la question)
est maintenant de trouver une relation entre entre M'(x²,x) et M(x, racine de x)
vecteur(OM') = ... X vecteur(OM)

Note : La relation de chasles c'est vecteur (OM) - vecteur (OM') = vecteur (M'M)

[jpclam]

Et bien dans ce cas la relation entre M'(x²,x) et M(x, racine de x), c'est :
vecteur(OM') = valeur de x X vecteur(OM)

C'est juste ?

[messinmaisoui]

Et bien dans ce cas la relation entre M'(x²,x) et M(x, racine de x), c'est :
vecteur(OM') = valeur de x X vecteur(OM)

C'est juste ?

vecteur(OM') = x X vecteur(OM) donc il y a bien relation !

[jpclam]

Et cela suffit pour montrer l'équivalence de la question ? :happy2:

[messinmaisoui]

Et cela suffit pour montrer l'équivalence de la question ? :happy2:

Sur [0, +infini], M'(x²,x) ou M(x, racine de x) représentent donc le même ensemble de points
à toi de le rédiger au mieux maintenant sur la base de nos échanges.

[jpclam]

D'accord, merci beaucoup !!