Exercice suite et fonction ln

[deadinsoul]

Voici l'exercice:

Soit (Un) la suite définie, pour tout entier naturel n, par:
Uo=1
U(n+1)= Un - ln (Un² + 1)

Partie A:

Soit f la fonction définie sur R par:
f(x) = x - ln(x²+1)

1) Résoudre dans R l'équation f(x)=x

2) Etudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0;1]. En déduire que si x appartient [0;1], alors f(x) appartient [0;1].

Partie B:

1) Démontrer par récurrence que,pour tout entier n>ou=0, Un appartient [0;1].

2) etudier le sens de variation de la suite (Un).

3) Démontrer que la suite (Un) est convergente. Déterminer sa limite.

Mes réponses:

1) f(x)=x
<=>x-ln (x²+1) = x
<=> ln (x²+1)=0
<=> x²+1 = 1
<=> x² = 0
<=> x = 0
Donc f(0)=0

2)f'(x) = 1 - 2x/(x²+1) = (x²-2x+1)/(x²+1) = (x-1)²/(x²+1)

x²+1>0 donc f'(x) a le signe de (x-1)²

(x-1)²=0
<=> x-1=0
<=> x=1

(x-1)²>ou=0

Signe de f'(x) + 0
variation 0 croissance f(1)=environ 0,30

f(0)=0 et f(1)=environ 0,30 et d'après le tableau de variation f(x) est croissante sur [0;1] donx f(x) appartient [0;1] pour x appartient [0;1].

Partie B:

1)
Initialisation: U0=1 vraie pour n=0

Héréditée: On suppose que pour certaine n, on a Un appartenant à [0;1]

et c'est ici que je bloque.

[Manny06]

Voici l'exercice:

Soit (Un) la suite définie, pour tout entier naturel n, par:
Uo=1
U(n+1)= Un - ln (Un² + 1)

Partie A:

Soit f la fonction définie sur R par:
f(x) = x - ln(x²+1)

1) Résoudre dans R l'équation f(x)=x

2) Etudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0;1]. En déduire que si x appartient [0;1], alors f(x) appartient [0;1].

Partie B:

1) Démontrer par récurrence que,pour tout entier n>ou=0, Un appartient [0;1].

2) etudier le sens de variation de la suite (Un).

3) Démontrer que la suite (Un) est convergente. Déterminer sa limite.

Mes réponses:

1) f(x)=x
x-ln (x²+1) = x
ln (x²+1)=0
x²+1 = 1
x² = 0
x = 0
Donc f(0)=0

2)f'(x) = 1 - 2x/(x²+1) = (x²-2x+1)/(x²+1) = (x-1)²/(x²+1)

x²+1>0 donc f'(x) a le signe de (x-1)²

(x-1)²=0
x-1=0
x=1

(x-1)²>ou=0

Signe de f'(x) + 0
variation 0 croissance f(1)=environ 0,30

f(0)=0 et f(1)=environ 0,30 et d'après le tableau de variation f(x) est croissante sur [0;1] donx f(x) appartient [0;1] pour x appartient [0;1].

Partie B:

1)
Initialisation: U0=1 vraie pour n=0

Héréditée: On suppose que pour certaine n, on a Un appartenant à [0;1]

et c'est ici que je bloque.

utilise la partie A
Un+1=f(Un) tu as demontré que si x€[0;1] f(x)€[0;1] prends x=Un

[deadinsoul]

utilise la partie A
Un+1=f(Un) tu as demontré que si x€[0;1] f(x)€[0;1] prends x=Un

Hérédité:

Un+1 = f(Un) et d'après 2) de la Partie A, f(x)€[0;1] si x€[0;1]
Donc Un+1[0;1] si Un€[0;1]

Mais je ne connais pas Un

[Manny06]

Hérédité:

Un+1 = f(Un) et d'après 2) de la Partie A, f(x)€[0;1] si x€[0;1]
Donc Un+1[0;1] si Un€[0;1]

Mais je ne connais pas Un

tu n'en as pas besoin pour faire la recurrence
P(n) Un€[0;1]
P(0) est vraie puisque U0=1
si P(n) est vraie donc Un€[0;1] alors d'après la partie A f(Un)€[0;1]
or f(Un)=Un+1 donc P(n+1) est vraie

par suite P(n) est vraie pour tout n€N

[deadinsoul]

tu n'en as pas besoin pour faire la recurrence
P(n) Un€[0;1]
P(0) est vraie puisque U0=1
si P(n) est vraie donc Un€[0;1] alors d'après la partie A f(Un)€[0;1]
or f(Un)=Un+1 donc P(n+1) est vraie

par suite P(n) est vraie pour tout n€N

Mais que représente Pn ? Un+1 ? ou Un ?

[Manny06]

Mais que représente Pn ? Un+1 ? ou Un ?

P(n) est la propriété "Un appartient à [0;1]
si tu ne veux pas ecrire P(n)
Uo=1 donc Uo€[0;1]
si Un€[0;1] alors f(Un) €[0;1] (voir partie A)
or Un+1=f(Un) donc Un+1€[0;1]

[deadinsoul]

P(n) est la propriété "Un appartient à [0;1]
si tu ne veux pas ecrire P(n)
Uo=1 donc Uo€[0;1]
si Un€[0;1] alors f(Un) €[0;1] (voir partie A)
or Un+1=f(Un) donc Un+1€[0;1]

Daccor merci je devrait pouvoir finir