Exercice sens de variations

[jeanfifirai]

Bonsoir tout le monde, je bloque sur un exercice, déjà sur la première question ou je dois justifier que la fonction f(x)= x+ est bien définie sur R.

J'ai pensé que cette fonction était bien définie sur R de par le fait que le coefficient de x² est 1 donc positif, or une fonction racine carré est définie par ou a est un nombre réel positif ou nul mais je suis pas sur que ça aille.

Ensuite je dois étudier sur [0;+;)[ la fonction v(x)= . Je dois notamment justifier le fait qu'elle soit croissante sur [0;+;)[ et décroissante sur ]-;);0].

Donc la je me suis dit que d'abord il y a la fonction carré avec le x² qui est décroissante sur ]-;);0] et croissante sur [0;+;)[. Ensuite, on ajoute 1 donc le sens de variation ne change pas et après il y a la fonction racine carré, mais là il y a quelque chose que je comprend pas c'est que la fonction racine est définie que sur [0;+;)[ ou elle est croissante, voilà merci de votre aide ! :triste:

[morpho]

1. Pour la racine carré , il faut verifier que tout ce qui est sous la racines est >=0 càd (x²+1) >= 0 pour quelle valeur de x ??? (c'est à toi de voir)
2. examiner la fonction seulement sur [0,+infini[ elle donc croissante car x² croit x²+1 croit et racine croit ....
3. la fonction est pair v(-x)=v(x) donc .....dans ]-infini,0] elle ......

[jeanfifirai]

1. Pour la racine carré , il faut verifier que tout ce qui est sous la racines est >=0 càd (x²+1) >= 0 pour quelle valeur de x ??? (c'est à toi de voir)
2. examiner la fonction seulement sur [0,+infini[ elle donc croissante car x² croit x²+1 croit et racine croit ....
3. la fonction est pair v(-x)=v(x) donc .....dans ]-infini,0] elle ......

Donc pour 1. x²+1>=0
x²>=-1 Donc pour x compris dans [0,+;)[, x²+1>=0

2. La racine croit mais que sur l'intervalle [0;+;)[ étant donné que [0;+;)[ est son ensemble de définitin. Donc elle n'est pas défini sur ]-;);0].

3. Si la fonction est pair et bien l'axe vertical sert comme axe de symètrie (je vois pas trop comment répondre)

[morpho]

Donc pour x compris dans [0,+;)[, x²+1>=0

==> NON voyons !!!!
on a x²+1 c'est la somme de 2 nombres positifs , c'est donc positif, ca marche tout temps ==> alors x se trouve ou quand ca marche tout temps ????

2. La racine croit mais que sur l'intervalle [0;+;)[ étant donné que [0;+;)[ est son ensemble de définitin. Donc elle n'est pas défini sur ]-;);0].

NON, [0;+;)[ n est pas l'ensemble de défitition

3. Si la fonction est pair et bien l'axe vertical sert comme axe de symètrie (je vois pas trop comment répondre)

oy axe de symétrie ==> tres Bien ==> voci un dessin: \|/ (à droite monte donc à gauche monte ou descend ???)

[jeanfifirai]

==> NON voyons !!!!
on a x²+1 c'est la somme de 2 nombres positifs , c'est donc positif, ca marche tout temps ==> alors x se trouve ou quand ca marche tout temps ????


NON, [0;+;)[ n est pas l'ensemble de défitition



oy axe de symétrie ==> tres Bien ==> voci un dessin: \|/ (à droite monte donc à gauche monte ou descend ???)

1) x se trouve dans R ? (j'ai vraiment du mal...)

2) Je voulais dire que dans mon cours la fonction racine carré est définie sur [0;+infini[ et donc qu'une fonction racine carré ne pouvait pas être sur ]-infini;0], or avec ma calculatrice je trouve qu'elle est y est pourtant défini, je ne comprend pas.. :triste:

3) Donc a gauche ça descend

[morpho]

" 1) x se trouve dans R ? (j'ai vraiment du mal...)" ==> OUI ,
regarde: x²+1, prend x=-3 => (-3)²+1 = 9+1 >=0, x=-3 ca marche, et x=3 ca marche aussi ==> ca marche pour les + et les - donc Df = R

2. la fonction racine carré c'est ca: , rien à voir avec , c'est le mixage(composé) de 2 fonctions et x²+1


3) Donc a gauche ça descend ==> tres bien c'est ca

[jeanfifirai]

" 1) x se trouve dans R ? (j'ai vraiment du mal...)" ==> OUI ,
regarde: x²+1, prend x=-3 => (-3)²+1 = 9+1 >=0, x=-3 ca marche, et x=3 ca marche aussi ==> ca marche pour les + et les - donc Df = R

2. la fonction racine carré c'est ca: , rien à voir avec , c'est le mixage(composé) de 2 fonctions et x²+1


3) Donc a gauche ça descend ==> tres bien c'est ca

1 et 3 : OK
Pour la 2, alors ma réponse doit dire que x² croit, x²+1 croit et croit ? Je dois dire ça pour prouver qu'elle est croissante dur [0;+infini[ et que comme cette fonction est pair, l'axe OY est axe de symétrie d'ou v(-x)=v(x), si la fonction croit sur l'intervalle [0;+infini[ elle décroit sur l'intervalle ]-infini;0] ?

Par contre après j'ai une autre question ou je dois donner le sens de variation de -v sur ]-infini;0], là je dois juste changer le sens de variation ?

[Black Jack]

Une méthode altarnative utilisable si on ne connait pas les dérivées.

v(x) = Racine(x²+1)

v(a) = Racine(a²+1)
v(b) = Racine(b²+1)

v(b) - v(a) = Racine(b²+1) - Racine(a²+1)
v(b) - v(a) = (Racine(b²+1) - Racine(a²+1)) * (Racine(b²+1) + Racine(a²+1))/(Racine(b²+1) + Racine(a²+1))
v(b) - v(a) = ((b²+1) - (a²+1))/(Racine(b²+1) + Racine(a²+1))
v(b) - v(a) = (b²-a²)/(Racine(b²+1) + Racine(a²+1))
v(b) - v(a) = (b-a)(b+a)/(Racine(b²+1) + Racine(a²+1))

1°)
si a < b <= 0 , on (b-a) > 0 et (b+a) < 0 --->
v(b) - v(a) < 0
v(b) < v(a)
Et donc v(x) est décroissante sur ]-oo ; 0]

2°)
si 0 <= a < b, on (b-a) > 0 et (b+a) > 0 --->
v(b) - v(a) > 0
v(b) > v(a)
Et donc v(x) est croissante sur [0 ; +oo[

:zen: