Exercice de recherche pour mon DM

[theodore_67]

Bonsoir, mon prof m'a donné l'exo suivant que je ne sais absolument pas comment résoudre:
"Démontrer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes sans utiliser ni produit scalaire ni repère."

En espérant trouver de l'aide :we:
Bonne soirée

[Ericovitchi]

une piste :
Trace les 3 droites qui passent par chacun des 3
sommets et qui sont parallèles au côté opposé à ce
sommet.
Ces trois droites se coupent en E , F et G.
A ton avis que représentent les hauteurs de ABC pour le
triangle EFG ?

[Ben314]

Salut.
Une indic : soit ABC le triangle de départ, A',B',C' les milieux respectifs de [BC], [CA], [AB] et enfin A",B",C" les symétriques respectifs de A,B et C par rapport à A',B',C' [on pourait définir A",B" et C" différement...]
1) Faire un (beau) dessin.
2) Que représentent les hauteurs du triangle ABC dans la triangle A"B"C"
3) Conclusion

Edit : grillé par Ericovitchi (qui propose la même chose que moi... mais avant moi !!!)

[theodore_67]

Re
déjà merci de m'avoir répondu tous les deux :) . Je vois que les hauteurs du triangle ABC sont des médiatrices dans le triangle A"B"C"; l'orthocentre de ABC serait donc le centre du cercle circonscrit au triangle A"B"C"... :zen:
Mais ca suffit a prouver que les hauteurs sont concourantes? :D ca me parait un peu trop court conaissant mon prof :briques:
en tout cas, merci!

[Ben314]

C'est tout à fait suffisant, à condition :
1) De justifier bien probrement que les hauteurs de ABC sont les médiatrices de A",B",C" (peut être est-il plus simple de définir ces points comme le fait Ericovitchi...)
2) De savoir OU de démontrer que les médiatrices d'un triangle sont concourantes.

[theodore_67]

Ah ok!
A t-on avis, si je puis me permettre, devrais-je démontrer ou admettre que les médiatrices sont concourantes?

[Ben314]

Alors là..., je sais pas trop...
Dans le doute, tu refait la preuve (ça tient 3 lignes si on s'y prend bien : médiatrice de [PQ] = ensemble des points équidistants de P et de Q)

[theodore_67]

Ok merci beaucoup, t'es un as!