[2nd] exercice (fonctions) ...

[Anonyme]

Le prix du kangourou :

un vendeur doit determiner le prix d'un kangourou en peluche. une enquete lui fournit les données suivantes :
- si le prix est de 75 €, il vendra 100kangourous;
- chaque fois que le prix est augmenté de 5€, 20 kangourous de moins seront vendus.
- chaque fois que le prix est diminué de 5€, 20 kangourous de plus seront vendus.
Le kangourou coute 30€ a la fabrication,

Quel prix de vente rend maximal le bénéfice ??
(concours kangourou 2003 )

PS : si vous savez où je pourais trouver les corrigés des concours kangourous 2nd , dites le mo svp ;) )

[Chimerade]

Soit x le prix d'un Kangourou. Le nombre de Kangourous vendus sera : 100+[(75-x)/5]*20, la recette sera donc : x*(100+4*(75-x)). Comme le coût de fabrication est 30x, le bénéfice sera donc :

B = x*(100+4*(75-x)) - 30x

B(x)=x*(400-4x)-30x

B(x)=x*(370-4x)

B(x)=4*x*(370/4-x)

B(x)=4*[370/8-(370/8-x)]*[370/8+(370/8-x)]

B(x)=4*((370/8)²-(370/8-x)²)

Le bénefice sera donc maximum quand...

[Anonyme]

oh merci beaucoup, je n'arrivais pas a trouver cette maudite fonction :D

merci encore

[Anonyme]

par contre, j'ai un petit probleme , je ne comprend pas vraiment le system, enfin pour le nombre de kangourou vendu, je n'arrive pas a trouver comment tu as procédé ...peux tu m'expliquer ?
ensuite pour l'equation, quand je le fais a la calculatrice ,cela me donne une droite verticale, .....
peux tu m'eclairer sur tt ca stp ..
Merci encore

[Chimerade]

par contre, j'ai un petit probleme , je ne comprend pas vraiment le system, enfin pour le nombre de kangourou vendu, je n'arrive pas a trouver comment tu as procédé ...peux tu m'expliquer ?

Je suppose que tu as compris comment écrire l'équation ! Si ce n'est pas le cas, redemande, je t'expliquerai plus en détail.
Par contre, il est possible que tu n'aies pas compris comment j'ai fait pour passer de :
B(x)=4*x*(370/4-x)
à
B(x)=4*((370/8)²-(370/8-x)²)

C'est bien normal : c'est en première que tu apprendras cela. Mais je peux bien t'en donner un avant-goût. Les trinômes du second degré sont du type ax²+bx+c ; tu apprendras en première à étudier à fond ce type d'expression. Mais ici, c'est une forme un peu particulière du type :
x*(A-x)
On voit qu'il s'agit du produit P de deux nombres, x et A-x qui gardent la même moyenne quel que soit x : en effet [x + (A-x)] / 2 = A/2. Alors j'utilise une identité remarquable bien connue "(a-b)*(a+b)=a²-b²" : lorsque je dois calculer, par exemple 58*62, je considère la moyenne de ces deux nombres : (58+62)/2 = 60 et je peux dire que 58=60-2 et que 62= 60+2. Ainsi, 58*62 = (60-2)*(60+2) = 60²-2² = 3600-4 = 3596. Eh bien ici, c'est pareil. Comme la moyenne entre x et A-x est A/2, alors, A-x = A/2 + (A/2-x) et x = A/2 - (A/2-x), par conséquent le produit P=x*(A-x) peut s'écrire P=[A/2 + (A/2-x)]*[A/2 - (A/2-x)] donc P=(A/2)²-(A/2-x)². Sous cette forme, il est clair que, étant donné que (A/2-x)² est forcément un nombre positif, P est forcément inférieur ou égal à (A/2)². En plus on voit avec cette formule que pour la seule valeur x=A/2, P est égal à (A/2)² et que pour toute autre valeur de x alors P est strictement inférieur à (A/2)². (A/2)² est donc le maximum de cette fonction. Voilà pourquoi, lorsque je suis arrivé à la formule :
B(x)=4*x*(370/4-x)
qui est 4 fois le produit des deux nombres x et (370/4-x), dont la moyenne, constante, est égale à 370/8, j'ai immédiatement pensé à définir x et 370/4-x par rapport à cette moyenne (370/8) :
x= 370/8 - (370/8-x)
et
370/4-x = 370/8 + (370/8-x)
pour arriver à la formule :
4*[370/8 - (370/8-x)]*[370/8 + (370/8-x)]
qui, en vertu de l'identité remarquable "(a+b)*(a-b)=a²-b²" est égale à :
4*[(370/8)² - (370/8-x)²] et m'a permis de conclure.

ensuite pour l'equation, quand je le fais a la calculatrice ,cela me donne une droite verticale, .....

Je ne connais pas ta calculatrice, mais je soupçonne fort qu'il s'agit d'un problème d'échelle. La valeur de 4*x*(370/4-x)=4*[(370/8)² - (370/8-x)²] varie entre 0 et 4*(370/8)² = 8556,25. Il est donc possible que ton graphe soit presque entièrement hors des limites de ton écran ; je te suggère donc de refaire l'essai en diminuant l'échelle selon y.