Exercice cube couleurs

[Rana Viridis]

Bonjour,
Je ne trouve pas de méthode pour résoudre cet exercice svp :
Une palette de 6 couleurs différentes est donnée. De combien de manières peut-on peindre un cube, en utilisant toutes les 6 couleurs, et exactement une couleur par face ? Deux manières de colorier sont considérées comme identiques si l'une peut être obtenue à partir de l'autre par une rotation quelconque dans l'espace.

J'essaie de tester les possibilités en faisant des schémas, mais il doit y avoir un autre moyen où on ne risque pas d'en oublier.

[jlb]

Si tu numérotes les faces, tu as combien de coloriage différents?
Après si tu te donnes un coloriage, il produit par les rotations combien de coloriage identique?
En mixant les deux infos, tu dois avoir ton résultat.

[Tomli]

Bonjour,

Je propose mon idée, juste comme ça, mais elle est peut-être fausse: et si c'était des factoriels?

Pour la face 1, elle a 1 chance sur 6 de la colorier d'une couleur précise, et puis pour la deuxième face, il n'y a plus qu'une chance sur 5, puisque la 6ème possibilité de couleur a été utilisée pour colorier la première face. Pour la troisième face, il n'y a plus qu'une chance sur 4, etc... Mais je ne suis pas sûre de la méthode.

[jlb]

oui!!
Il reste à conclure car les faces ne sont pas numérotées.

[Tomli]

Il te suffira de dire que tu utilises les factoriels, et de décrire ton calcul, avec "6x5x4x3..." et de faire ta phrase réponse.

[jlb]

Ce n'est pas fini!!! Il va y avoir des coloriages identiques par rotation du cube: les faces ne sont pas numérotées!!

[Rana Viridis]

En faisant le calcul je trouve 720 possibilités. Mais il y en a autant ?

[jlb]

Non!! Il reste un truc à trouver: combien tu obtiens de coloration identique à partir d'une coloration de départ par les rotations du cube. ( tu images avoir un cube numéroté et un cube superposé colorié et tu fais tourner uniquement le cube colorié, la question combien de coloriage différent récupères-tu?

[Rana Viridis]

Ah oui ! Je ne sais pas comment savoir sans tout tester ?

[jlb]

Essaie de trouver le nombre de façon de "tourner" le cube dans l'espace. C'est entre 20 et 30, à toi de manier un dé!!!

[Rana Viridis]

Il y a 24 façons ?

[Ben314]

Oui, c'est ça et les 6!=720 coloriages différents que l'on a si on ne s'autorise pas à tourner le cube proviennent donc de 720/24=30 coloriages différents si on s'autorise à tourner le cube.

Sinon, vu le faible nombre de cas, on peut aussi le faire "à la main" :
Si on note les couleurs A,B,C,D,E,F alors, quitte à tourner le cube, on peut mettre la couleur A en haut (par exemple). Pour la couleur B il y a alors deux cas de figure :
- Soit elle est à coté de la A et on place le cube de façon à l'avoir en face de nous et le cube est complètement orienté par les faces A et B (il y a une seule façon d'avoir A en haut et B en face de nous) donc il reste à regarder le nombre de façon de colorier les 4 autres faces et c'est 4!=24.
- Soit elle est en face de la A (donc en bas) et dans ce cas la couleur C est "sur le coté" et en tournant le cube (ce qui ne change pas les positions de A et B) on peut amener C en face de nous ce qui oriente le cube (une seule façon d'avoir A en haut et C en face de nous). Dans ce cas, il reste 3 faces à colorier de n'importe quelle façon ce qui fait 3!=6 possibilités.
Au final, on retrouve bien 24+6=30 configurations possibles.