Probabilité - Tirage simultané dans une urne à c couleurs

[Demoscape]

Bonjour/Bonsoir,

J'ai un problème de tirage simultané dans une urne un peu plus complexe que d'habitude.
Ayant fini mes études depuis un moment, je ne suis pas sur de l'endroit où poster ce problème mais plusieurs exercices de tirage simultané sont présent dans ce niveau d'étude (lycée) donc j'ai supposé que ça devait se poster ici (mais s'il doit se trouver au niveau supérieur je reposerai là bas).

Voici le problème:


Une urne contient c couleurs de boules avec pour chaque couleur boules (pour i allant de 1 à c), ce qui fait N boules au total avec .

Dans un premier temps on cherche la probabilité de l'évènement A qui est d'avoir exactement boules pour chaque couleur ( boules de la couleur 1, boules de la couleur 2,...) sur un tirage de k boules avec .

Déjà j'aimerai bien être sur que la probabilité de cet évènement est:




Si cette formule est bonne on peut passer à la suite. (Sinon toute la suite ne tient pas debout)


A partir de maintenant toutes les couleurs ont un nombre égal de boules ( pour tout i allant de 1 à c, = n et N=n*c).

On cherche maintenant à savoir la probabilité de l'évènement d'avoir au moins 1 boule de chaque couleur pour un tirage de k boules.


Pour k<c, la probabilité est nulle car on ne peux pas avoir toute les couleurs de boules si on a moins de boules que de couleurs.

pour k=c:


pour k>c:
J'ai d'abord pensé que ça correspondait à avoir exactement 1 boule parmi n de chaque couleur et k-c boule parmi les N-c boules restantes soit la formule hypothèse:

et j'ai chercher à la vérifier pour k=c+1

pour k = c+1 : on peut énumérer tous les cas:
1 double boules pour la première couleur et 1 simple boule pour les autres, 1 double boules pour la deuxième couleur et 1 simple boule pour les autres, ... , 1 double boules pour la c-ième couleur et 1 simple boule pour les autres.

donc
avec =2 si i=j et =1 sinon





OR si je prend la formule hypothèse:



Il y a un 2! au dénominateur de différent entre la formule hypothèse et celle où j'ai décompté à la main chaque cas, donc au moins l'une des deux est fausse (probablement la formule hypothèse).

J'ai ensuite fait pour le cas k=c+2 pour essayer de voir si ce 2! correspondait à quelque chose mais j'ai plus de mal à avoir un facteur commun clair entre la façon décompte à la main et la formule hypothèse donc je préfère ne pas la poster pour l'instant.


Si quelqu'un peut me décoincer ou me faire une piqure de rappel pour m'aider je vous remercie d'avance !

[lyceen95]

J'ai d'abord pensé que ça correspondait à avoir exactement 1 boule parmi n de chaque couleur et k-c boule parmi les N-c boules restantes

Ca, c'est le début des embrouilles, ça mène toujours à des erreurs.

J'ai 5 couleurs ABCDE, 15 boules A1 A2 A3 B1 B2 B3 .......
Si j'ai tiré les boules A1 A2 B1 C2 D3 E2 ... est-ce que ça correspond au cas où j'ai exactement (A1 B1 C2 D3 E2) plus (A2) ou bien au cas (A2 B1 C2 D3 E2) plus (A1) ?
Ton facteur 2 doit venir de là.

Tu remarqueras que j'ai donné 15 identifiants différents à mes 15 boules. Je trouve que ça aide beaucoup.

Pour la question : Avoir au moins une boule de chaque couleur, tu peux peut-être envisager la proba contraire, c'est à dire : avoir au moins une couleur non présente.
Et il va encore falloir décomposer : avoir exactement 1 couleur non présente, avoir 2 couleurs non présentes etc etc.
Avec le Crible de Poincaré, tu dois pouvoir aboutir assez bien à une formule générale. Et traiter d'un coup n'importe quelle valeur de k.

PS : si un lycéen de 2022 sait faire cet exercice, il a droit à un magnum de champagne ! Un magnum par jour même.

[Demoscape]

J'ai probablement sous-estimé le problème!

Pour la première partie de la réponse j'ai l'impression que c'est deux fois le même évènement mais compté deux fois selon si on prend A1 ou A2 en référence pour la boule de couleur A.

J'arrivais pas à voir pourquoi ça me semblait bizarre de prendre après les mais je crois que votre exemple montre exactement pourquoi ce n'est pas correct.

Pour essayer de trouver une formule, je prenais aussi une "petite" urne (urne 5 couleurs ayant chacune 4 boules) parce que ça devient vite abstrait, mais j'avoue que j'ai pas essayé de numéroter chaque boule.


~~~~[EDIT]~~~~
Je vais tenter avec l'évènement inverse

Soit = l'évènement "réaliser un tirage de k boules en ayant au moins 1 couleur manquante"
Je défini l'évènement "réaliser un tirage de k boules en ayant exactement i couleurs manquantes".
et sont incompatibles pour i j.
(on remarque que = )


On a donc =
et p()= p()+ p()+ ... + p() car les évènements sont incompatibles.
Si le crible de Poincaré était pour ces intersections, pas besoin du coup.

Ce qui m'a l'air le plus simple est de partir de la fin:

p() = 0 , on ne peut pas avoir c-c=0 couleur (pas sur de la pertinence de cet évènement)



Pour , toutes les boules sont de la même couleurs donc on a c fois k boules parmi n
donc p() =




Pour , pour 2 parmi c couleurs on a tous les cas suivants:
1 de la première couleur , k-1 de la deuxième couleur
2 de la première couleur , k-2 de la deuxième couleur
...
k-1 de la première couleur , 1 de la deuxième couleur
ce qui nous donne:
p() =


Pour , pour 3 parmi c couleurs on a tous les cas suivants:
1 de la première couleur , 1 de la deuxième couleur, k-1-1 de la deuxième couleur
1 de la première couleur , 2 de la deuxième couleur, k-1-2 de la deuxième couleur
...
1 de la première couleur , k-1-1 de la deuxième couleur, 1 de la deuxième couleur
2 de la première couleur , 1 de la deuxième couleur, k-2-1 de la deuxième couleur
...
2 de la première couleur , k-2-1 de la deuxième couleur, 1 de la deuxième couleur
...
k-1-1 de la première couleur , 1 de la deuxième couleur, 1 de la deuxième couleur

ce qui nous donne:
p() =




Pour , même raisonnement:
p() =

il ne me reste plus qu'à remonter à

[lyceen95]

On a couleurs , numérotées de 1 à , boules de chaque couleur, boules en tout.
On tire boules
Le nombre de tirages possibles est
Le nombre de tirages possibles, en supposant que la couleur n°1 est absente :
Le nombre de tirages possibles, en supposant qu'au moins une couleur est absente, ou exactement une couleur est absente : c'est compliqué , ce n'est pas tout simplement c multiplié par le résultat précédent, il y a plein de doubles compte.[/tex]
Et c'est là que je faisais intervenir le fameux crible.
Le nombre de tirages possibles, en supposant que les couleurs n°1 et n°2 sont absentes :
Etc..
Il me semble que c'est une piste.

[Demoscape]

Ah vous avez répondu pendant que j'éditais le message précédent! (et j'ai crash 2 fois pendant l'édit ce qui m'a fait perdre pas mal de temps)

De ce que je comprend, le dénominateur ne serait pas constant?


Je vais redévelopper pour le cas ,
on peux le décomposer en sous évènements:
: obtenir k boules de couleur 1 et 0 de toutes les autres.
: obtenir k boules de couleur 2 et 0 de toutes les autres.
...
: obtenir k boules de couleur c et 0 de toutes les autres.
ces évènements sont incompatibles aussi

p() =

p() =

...

p() =

donc p()= p()+p()+...+p() car les sont incompatibles
=c * p()

En faisant comme ça je ne vois pas ce que je compte plusieurs fois.

[lyceen95]

Oui, mais ces configurations sont un tout petit petit petit échantillon des configurations possibles.
Si on a couleurs, boules par couleurs, et si on tire boules ...
si , alors les cas que tu évoques peuvent se produire. Mais on est certain de toutes façons qu'on n'a pas au moins une boules de chaque couleur, car
si alors le problème devient intéressant, mais les cas que tu évoques ne peuvent plus se produire...
Quand et , le cas que tu évoques peut se produire, mais c'est marginal.

Ce que je disais :
J'ai par exemple 5 couleurs (A,B,C,D,E), 4 boules par couleurs.
Je tire k boules. Par exemple k=10 ou k=12 ... ni trop petit, ni trop grand, au beau milieu du problème.

Proba de ne pas tirer de boules de couleur A : facile
Proba de ne pas tirer de boules de couleur B : facile
Proba de ne pas tirer de boules ni A ni B : facile
Proba d'avoir exactement 4 couleurs présentes (et donc exactement une couleur absente) : difficile
Proba d'avoir au plus 4 couleurs présentes (et donc au moins une couleur absente) : difficile
C'est pour ces 2 calculs (et les suivants) qu'on a besoin du crible de Poincaré.

[Demoscape]

J'ai lu et relu plusieurs fois et je ne vois pas pourquoi la formule n'est plus valide.

pour k>n:
Si je prend , et qu'on l'applique à c=5 et n=4

p() =

or car k>4

donc on a bien p() = 0

Donc oui dans un sens l'évènement ne se produit pas, mais la formule qui lui est associée devrait rester correcte.




Pour ce qui suit je reste à c=5 et n=4, pour tout k 4

L'évènement :"avoir au moins une couleur manquante sur un tirage de k boules"
cet évènement correspond à la somme des évènements ,,,,


Pour l'évènement : "avoir exactement 4 couleur manquante sur un tirage de k boules"
p() =

Pour l'évènement : "avoir exactement 3 couleur manquante sur un tirage de k boules"
p() =


Pour l'évènement : "avoir exactement 2 couleur manquante sur un tirage de k boules"
p() =

Pour l'évènement : "avoir exactement 1 couleur manquante sur un tirage de k boules"
p() =



Pour finir :
p() = p() +p() + p() + p()
et si on veut l'évènement
p() = 1 - p()


pour en revenir aux situations qui posent problème (si j'ai bien compris), pour toutes les situations où je tire plus de boule d'une couleur qu'il n'en existe , donc je n'ai pas à m'en inquiéter.


Encore une fois, soit je n'ai pas compris où vous voulez vous servir du crible soit il n'est pas nécessaire car les évènements sont incompatible.

[lyceen95]

Ca me paraît bon.
Si k=16, on peut avoir 1 couleur totalement absente, et il y a 5 tirages qui donnent ce résultat.
Si k=15, on peut avoir 1 couleur totalement absente, et il y a 5x16 tirages qui donnent ce résultat.
Si k=12, on peut avoir 2 couleurs totalement absentes, et il y a 10 tirages qui donnent ce résultat.
Sur ces cas limites simples, tout colle.

Tu peux alléger un peu les formules, par exemple la dernière , les indices supérieurs des sommes peuvent être au lieu de

[Demoscape]

Malheureusement non je ne peux pas simplifier les indices des sommes car sinon je compterai aussi certains cas où 1 couleur de plus n'est pas présente (et donc je n'ai plus exactement i couleurs absentes)

Le plus simple pour le voir est de regarder


=
=
=
= p() +


Pour terminer le problème voici la formule correspondante à avec a un entier compris entre 1 et c-1

p()=

C'est assez barbare mais avec cette formule on peux calculer toutes les probabilités des , donc celle de et pour finir celle de


On peux même appliquer la formule pour qui est exactement le même évènement que ce qui nous permet d'obtenir d'une autre façon avec la formule

p()= p(B)=




Merci beaucoup pour votre aide pour la résolution du problème!
Maintenant il ne me reste plus qu'à trouver un moyen de rendre ça calculable pour les c et n qui correspondent à mon application.