[TS] Exercice d'arithmétique : PGCD

[Vladdygde]

Bonjour !

Je rencontre quelques difficultés avec un exercice de spécialité en arithmétique ! Le sujet est le suivant :

Conjecturer à l'aide d'un tableur quel est l'ensembles des entiers naturels non nuls n tels que PGCD(n²+4n+9 ; n+1) = 6. Justifier la conjecture en considérant la combinaison linéaire n²+4n+9 - (n+3)(n+1)

Voici ce que j'ai déjà fait :

Avec le tableur, je remarque que les valeurs de n pour lesquelles le PGCD = 6 sont : 5, 11, 17, 23, 29, 35 etc... J'en déduis la conjecture suivante : , ce qui revient à .

Sans transition (j'ai juste l'intuition de devoir faire ça :hein: ) :



Donc :

Donc : (??? Je sens que c'est illégal...)

Donc :

Et là... Je fais de la tambouille... :hein:

ou

ou

Ceci revient à dire que :

ou

ou <- Bingo ! C'est ce que je voulais !


Je procède de la même façon avec :



Donc :

Donc :

Ce qui équivaut à : <- Bingo encore une fois !

J'en conclus que : si , alors :



Voilà ce que j'ai fait. Je n'ai pas l'impression d'avoir prouvé quoi que ce soit... Il me semble que c'est un équivalence que je dois démontrer, et que donc je dois étudier la réciproque de ma propriété. Essayons !


Si , alors

Donc :

Donc :

Donc :


De la même façon, j'essaie de remonter ma démonstration dans l'autre sens :

Si , alors

Donc :

Donc :


Et là ça coince... Il me faudrait multiplier par n dans l'expression avec les n mais aussi dans l'ensemble... Et j'ai vraiment l'impression d'avoir raconté n'importe quoi ! :mur:

Quelqu'un pourrait-il m'aiguiller ? Merci d'avance ! :we:

[nodjim]

Il y a un truc bien plus simple (tellement que ça se fait de tête) qui est la division euclidienne de n²+4n+9 par n+1. Mais je ne sais pas si c'est au programme....

[nodjim]

Par ailleurs, on t'aiguille avec la différence n²+4n+9 -(n+1)(n+3). C'est un peu ça la division euclidienne.

[Vladdygde]

Il y a un truc bien plus simple (tellement que ça se fait de tête) qui est la division euclidienne de n²+4n+9 par n+1. Mais je ne sais pas si c'est au programme....

On a vu la division euclidienne, mais je ne pense pas être capable d'en faire une avec des inconnues... Dans ce cas, je devrais essayer de factoriser n^2 + 4n + 9 par (n+1) ?

Mais ce qui me dérange c'est que dans un exercice sur les PGCD, je travaille plutôt sur les congruences... Est-ce que ce que j'ai fait prouve quelque chose ? Je suis perdu !

[nodjim]

Ce que tu as fait me semble bon, je te donne tout de même le truc plus court:
n²+4n+9=(n+3)(n+1)+6
Si n+1=6k, le PGCD sera au moins de 6 puisque tu pourras écrire:
n²+4n+9=(n+3)(6k)+6=6(k(n+3)+1)
Maintenant (n²+4n+9)/6= (n+1)/6 * (n+3) + 1.
De la forme a=bq+1
(n+1)/6 (b) et (n²+4n+9)/6 (a) sont premiers entre eux, car le reste de la division est 1. Donc, le PGCD est exactement de 6.

[Vladdygde]

Ce que tu as fait me semble bon, je te donne tout de même le truc plus court:
n²+4n+9=(n+3)(n+1)+6
Si n+1=6k, le PGCD sera au moins de 6 puisque tu pourras écrire:
n²+4n+9=(n+3)(6k)+6=6(k(n+3)+1)
Maintenant (n²+4n+9)/6= (n+1)/6 * (n+3) + 1.
De la forme a=bq+1
(n+1)/6 (b) et (n²+4n+9)/6 (a) sont premiers entre eux, car le reste de la division est 1. Donc, le PGCD est exactement de 6.

En effet, je n'aurais pas pu trouver cette solution... J'ai bien tenté de factoriser mais le discriminant du trinôme est négatif ( ), impossible à mon niveau de manipuler l'expression ! Je n'ai pas réussi à suivre ton raisonnement jusqu'au bout, je bloque à partir de "Maintenant" :mur: De plus, notre professeur de spé nous a formellement interdit d'utiliser des traits de fraction en arithmétique, alors je suis assez surpris par la solution que tu me proposes ^^

Si ce que j'ai fait convient, je te fais confiance ! Merci ! :we:

[nodjim]

Il te manque dans t

[nodjim]

il manque dans ta démo le fait que quand les 2 expressions sont multiples de 6, ils n'ont en facteur commun que 6, et pas un multiple de 6. Par ailleurs, tu n'as pas utilisé l'indication fournie.

[chan79]

salut
On pourrait peut-être rédiger comme ça:
si 6 est le PGCD de n²+4n+9 et de n+1, alors il divise n+1
donc n+1=6k
soit n=-1+6k
Supposons maintenant que n=-1+6k avec k entier strictement positif
on a l'égalité n²+4n+9-(n+1)(n+3)=6
elle prouve d'une part que 6 divise n²+4n+9 et d'autre part que 6 est le PGCD de (n²+4n+9) et de (n+1) d'après le théorème de Bézout.


Théorème de Bézout:
Soient a et b deux entiers relatifs.
Soit d un entier naturel divisant a et b. S'il existe deux entiers x et y tels que ax + by = d, alors d est le PGCD de a et b.